不导电围岩中球体的回线源电磁场

（一）基本原理
瞬变电磁法是以地壳中岩石和矿石的导电性差异为主要物质基础，通过以接地导线或不接地回线通以脉冲电流作为场源，以激励探测目的物感生二次电流，在脉冲间隙测量二次场随时间变化的响应，从而达到了解地下介质的电性变化情况的目的。
M.N.Nabighan指出，任一时刻地下涡旋电流在地表产生的磁场可以等效为一个水平环状线电流的磁场。在发射电流刚关断时，该环状线电流紧挨发射回线，与发射回线具有相同的形状。随着时间的推移，该电流环向下、向外扩散，并逐渐变为圆电流环。等效电流环很象从发射回线中吹出的来的一系列“烟圈”，沿与地面成47°的倾斜锥面扩散，这种过程可形象地称为“烟圈效应”。从这一观点来看，早期瞬变电磁场是由近地表电流产生的，反映浅部电性分布特征；晚期瞬变电磁场主要是由深部的感应电流产生的，反映深部的电性分布。因此，观测和研究大地瞬变电磁场随时问的变化规律，可以探测大地电性的垂向变化。
重叠回线脉冲场源激励，近区瞬变响应换算的视电阻率（ρS）和视深度（HS）参数公式如下：

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式中：ε（t）为瞬变响应；M为激励磁矩；q为回线面积；τ0为脉冲宽度。
（二）观测装置类型
瞬变电磁法观测时，经过多次正反向电流激励，瞬变响应多次叠加达到满意结果后，完成测点的观测任务。该方法常见的装置组合类型如下。
（1）动源组合类（图3－2－1）
该类组合的边长一般为L＝50～400m；另外根据实测任务，浅部与深部测深边长范围可达L＝20～150m。

图3－2－1 瞬变电磁法动源装置组合类型图

（2）定源组合类（图3－2－2）

图3－2－2 瞬变电磁法定源装置组合类型图

（三）激励回线边长的确定
在磁源瞬变电磁法野外工作中，激励回线边长的大小直接影响勘探对象的响应以及早晚期的划分。如在图3－2－3中说明了均匀导电介质中回线中心下方球体的相对瞬变响应与回线半径的影响关系，其中：当r1/a＝0.5时，球体响应的极值最大，随着比值增大，响应极值逐渐降低。同时也可看到，球体响应的极值出现在一定的时间窗口内，说明在此时间段内才能发现围岩中的导体。

图3－2－3 均匀导电介质中回线中心下方有球体时的相对瞬变场与回线半径的影响

表3－2－1给出均匀大地上重叠回线早晚期的划分条件。当大地电阻率不变时，随着回线边长增大，观测进入近区（晚期）的时间越来越长。因此在实际工作中，要清楚地知道延时位于何区段，如果只用晚期的公式来计算有关参数，将会发生较大的错误。一般情况下，应减小回线边长，增加匝数，使采样时间符合晚期的条件。
表3－2－1 均匀大地上重叠回线早晚期的划分条件 （单位：t/ms）


（四）方法技术特点
瞬变电磁法是观测纯二次场，不存在一次场源的干扰，这称之为时间上的可分性；但发射脉冲是多频率的合成，不同延时观测的主要频率不同，相应时间的场在地层中传播速度不同，探测深度也就不同，这称之为空间的可分性。因此，瞬变电磁法有如下特点：
1）把频率域的精度问题转化成灵敏度问题，加大功率灵敏度可以增大信噪比，加大勘探深度；
2）在高阻围岩区不会产生地形起伏影响的假异常；在低阻围岩区，由于是多道观测，早期道的地形影响也较易分辨；
3）可以采用同点组合（同一回线、重叠回线、中心回线）进行观测，使与勘探目标的耦合最紧，取得的异常响应强，形态简单，分层能力强；
4）线圈点位、方位或收发距要求相对不严格，测地工作简单，工效高；
5）有穿透低阻的能力，探测深度大；
6）剖面测量和测深工作同时完成，提供了更多的有用信息，减少了多解性；
7）磁源产生激励电流，不需接地电极，适地表干噪区开展工作；
8）由于发射场能量分布于较宽的频带上，信噪比往往较低，更容易受天然和人为干扰信号的影响。
（五）应用范围
1）划分咸淡水；
2）了解断裂破碎带空间分布特征；
3）确定不同岩性接触带；
4）查明灰岩区岩溶管道的分布特征。

频率电磁测深法是通过改变频率达到测深目的的一类电磁法。根据发射场源性质的不同，又有电偶源测深法和磁偶源测深法两种方法。
图3－1－7定性给出了地表电偶极源电磁场的传播情况。实际上不论电偶极源还是磁偶极源，当其置于地表时，它们所产生的电磁场均向四面八方传播，其传播路径可分为天波、地面波（S0）和地层波（S1）。因为频率测深用的是长波和超长波，故向上传播的天波不会被电离层反射回地面，造成一个几乎是垂直向下传播的水平极化平面波（S*波）。在｜k1r｜>>1（r>>λ/2π）区域，地层波衰减殆尽，地下只有S*波垂直入射，出现不均匀平面波区域，即为波区或远区。当｜k1r｜<<1（r<<λ/2π）时，地层波占主导地位，称为S区或近区。其中k为波数，r为发－收距，λ为波长。由此可见，在频率测深方法中，随着频率的不同，由高频到低频，同一观测点可处在波区、中间区和S区。因此，与只研究波区条件下的大地电磁法比较，频率测深的正演理论、工作方法及解释理论都较复杂。

图3－1－6 导电围岩存在时，直立良导体的定源水平线框法异常曲线


图3－1－7地面偶极源电磁场的传播

与直流测深比较，这一方法具有实质性优点：由于用改变频率的方法来控制探测深度，从而减轻了增大供电电极距AB的繁琐劳动；等值原理作用范围窄，故对地层的分辨力强以及勘探深度较大等。近年来，频率测深法已成为国内外应用较广的一种测深方法。
（一）电偶源频率测深测法
电偶源频率测深法发射之不同频率的电流是通过接地电极A、B实现的。接收可用M、N电极测电场（AB－MN），也可用线圈测磁场（AB－s）。
前已指出，由电磁场理论可知，当｜kr｜>1为远区。在这两个区域中场具有不同的特点。由

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称为“趋肤深度”。实际上，近区和远区是以发射和接收之间距离r与趋肤深度δ的比值（即r/δ）大小来区分。r/δ>1视为远区。
下面举一个划分近区和远区的例子。在电阻率为50Ω·m的均匀介质中，频率10Hz的平面电磁波的趋肤深度为

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因此，当r1＝225m （即r1/δ＝0.2）视为近区；r2＝6750m（即r1/δ＝6）处以外则视为远区；225～6750m之间为中间区。如果在这个例子中f＝10000Hz则δ＝36m，故在r1＝225m处（r1/δ＝6.3），即已处于远区范围。这一例子说明，由于频率不同，同一个观测点可处在不同的区域。
从以上讨论可以看出，只用距离来理解近区和远区的概念是不恰当的。若称比值r1/δ＝P为“归一距离”，通常可用归一距离来表示观测点离开场源的尺度。当P>1则视为远区。有两个原因可形成P>1，即远区意味着发－收距很大或者是处于高频段。
很显然，AB连线附近处于近区。在这里记录到的不仅是总的场强E、H或者电流密度j，而且感应成分的场与接地传导类场比较很小。在AB连线很远的地方，当频率足够高时处于远区，感应场成分远大于接地传导场，甚至可以将接地场忽略不计，远区的能量主要以电磁波的辐射形式传播。这时，可将AB接地场源看成为接地偶极子场源。因为随距离的增加电磁场振幅变小，故在远区的地表面上形成不均匀平面波，且沿铅直方向穿透到深处。所谓有效勘探深度指的是有效地作用于测量结果的电流分布极限深度。研究表明，对于某一波长电流的大部分分布在半空间的上部。由于谐变的均匀平面波在导电介质少以指数规律衰减，即

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f为频率，单位为Hz；λ为波长（λ＝2πδ），单位为m；ρ为电阻率，单位为Ω·m。故在相对低频情况下，根据欧姆定律，电流密度正比于电磁场强度，即

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由此可见，涡旋电流密度的穿透深度依赖于波长（或频率）。对于短波或高频，由于趋肤效应，电流密度集中在浅处，而长波或低频其穿透深度深。在频率域电磁法中，一般认为有效勘探深度是较地表振幅衰减e倍的深度，即趋肤深度，写为便于应用的数值的方程形式为

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虽然从概念上讲，趋肤深度是表示电磁波穿透的深度，但它并不是代表实际有效的研究深度。研究深度是一个比较模糊的概念。它给出任一测深方法在特定地质条件下的平均特性。根据经验，有效研究深度可由下式表达：

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这一规律可推广到所有利用平面电磁波的电磁勘探方法中。
（二）磁偶源频率测深法
磁偶源频率测深法是将可以改变频率的交流电源输出到不接地回线上，或接在称为发射线圈（线框）的多匝小型线框上。发射装置的一次交变磁场在地中感应出二次电场，从而它又产生二次磁场。一次磁场和二次磁场叠加在一起形成总磁场。在远区，二次磁场占优势。与接地的情况一样，远区场在地表具有不均匀平面波性质，且沿铅直方向向深处传播。近区场的特点与直流电场的特点基本相似。
因为 所以归一距离表示为

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在忽略位移电流作用的导电介质中波长等于：

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电场强度E是根据接地的或不接地的MN测得的点位差△U（ω），用下面的公式计算出来的

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式中：ΔU（ω）为在接收线上产生的感应电动势；le为有效的接收线长度。在低频段，接地测量的
借助于空心感应线圈或带有铁磁心的桶装线圈测量磁场强度H。在线圈中产生的电动势 正比于磁通量 的变化速度，即

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式中：S为测量线圈的总面积；B为感应强度。测量信号的振幅正比于磁场强度即

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式中：q为转换系数，q＝ωμS。
磁偶源在水平地层上的视电阻率（ρω/ρ1）测深曲线特征与上述电偶源的曲线特征基本上相同的，故不赘述。

（一）均匀谐变场中球体的感应场

设均匀垂直的谐变一次磁场 H₁=H_z=H₁₀e^-iωt作用于导电导磁球体（见图1⁃3⁃28）。球体半径为r₀，电导率为σ。设围岩介质为不导电和无磁性（μ=μ₀）的。这一假设保证了能够得到正演的较为简单的解析解。

图1⁃3⁃28 均匀磁场中的球体

由图可见，均匀一次磁场在球坐标系中的分量表达式为H_1R=H₁cosθ，H_1φ=0，H_1θ=H₁sinθ因此，由H=▽×A可写出如下关系：

H_1φ=（▽×A）_φ=0，H_1R=（▽×A）_R=H₁cosθ，H_1θ=（▽×A）_θ=-H₁sinθ

故有

地电场与电法勘探

即

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式中φ为φ方向的单位矢量。这意味着一次磁场的矢量位只有φ分量。

球体的存在不会破坏场的对称性，而只改变矢量位值的大小，故在球内外的矢量位表达式可写为

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上式中的A_φ应满足下列方程：

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式中k=

。令u=cosθ，则上式变为

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采用分离变量法：

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由（1⁃3⁃267）式得两个常微分方程：

地电场与电法勘探

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此处n为分离常数。

对（1⁃3⁃269）式除以k²R²，并乘以

（R），得变形贝塞尔方程：

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上式的解为

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上式中C_n和D_n为积分常数，I_n+1/2和K_n+1/2分别为复变量的非整阶第一类和第二类变形贝塞尔函数。（1⁃3⁃270）式为勒让德方程。其解为

Θ_n=A_nP_n（cosθ）+B_nQ_n（cosθ）（1⁃3⁃272）

上式中A_n和B_n为积分常数，P_n（cosθ）和Q_n（cosθ）分别为n阶第一类和第二类勒让德多项式。

将（1⁃3⁃271）和（1⁃3⁃272）式代入（1⁃3⁃268）式，得一般解：

地电场与电法勘探

根据问题的物理内容可选择解的形式和函数的阶数。由（1⁃3⁃265）式sin（θ）=P₁（cosθ），即A_φ=

H₁RP₁（cosθ）。因此，在（1⁃3⁃273）式中只能选择n=1的解。另外，当θ=0°时，Q₁→∞，故必须设B₁=0。在球内（0≤R≤r₀）不可能存在函数K_3/2，因为当R→0时，K_3/2→∞。故球内场矢量位表达式为

A^内=C′I_3/2（kR）sinθR^-1/2（1⁃3⁃274）

在球外∙∙∙介质（k=0）中（r₀＜R＜∞），（1⁃3⁃273）式不满足物理要求，这是因为当k→0时K_3/2→∞。而当R→∞时I_3/2→∞。因此，应从（1⁃3⁃267）式出发，采用类似方法得球外介质（k=0）中的异常场表达式：

地电场与电法勘探

而球外场矢量位表达式为

地电场与电法勘探

为了确定（1⁃3⁃274）和（1⁃3⁃275）式中的积分常数C′和D′，利用边界条件：

μA^内=μ₀A^外

地电场与电法勘探

省略推导过程，最后写出我们所感兴趣的球外场矢量位表达式中的积分常数，即

地电场与电法勘探

这里D代表大括号中的复杂函数，称之为“球体频率特性函数”，或“响应函数”，它是一个量纲为一的函数；X和Y是函数D的实部和虚部。

因此，可最后写出：

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而磁场表达式为

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二次磁场为

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此异常表达式乃为一偶极子场的形式，相当于在球心有一异常磁偶极子，其磁矩m=

。此式的磁矩方向与一次磁场方向相反。

分析无磁性导电球体的情况。此时，由于μ=μ₀，故（1⁃3⁃276）式被简化为

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对上式实、虚部的计算结果绘于图1⁃3⁃29上（见μ/μ₀=1曲线）。为讨论这条曲线的低频特性（

→0），利用如下级数展开：

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并代回（1⁃3⁃278）式，忽略高次项，得：

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磁矩为

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此式表明，低频情况下导常场只有虚分量，且其值与球体电导率、半径及外加场的频率成比例。

再分析低频情况下的导电导磁球体情况。将（1⁃3⁃276）式中I_1/2（kr₀）、I_-1/2（kr₀）展成级数，取前三项代回，当｜

｜→0时，得：

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上式第一项是与磁导率有关而与频率无关的实数，即为磁性球体磁化所形成的磁化磁矩。由它产生磁化二次场，其相位与一次磁场一致，见图1⁃3⁃29中μ/μ₀=1.25、2.5、5的实部曲线左支渐近线。第二项是与频率、电导率等有关的感应电流产生的磁矩，它与一次磁场有90°相位差，由它产生感应二次场。

图1⁃3⁃29 导电导磁球体的中央响应函数曲线

图1⁃3⁃30 球体异常剖面曲线

高频情况下，即｜

｜→∞时，由（1⁃3⁃276）式得：

D=-1

对应的磁矩为

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此式表明，在高频条件下只有与频率、电导率及磁导率等无关的实分量磁矩，而虚分量等于零。

计算表明，当｜kr₀｜为中间值时虚分量有一极大值，对应的参数kr₀为最佳参数，或该频率为最佳频率，而实分量从正的左支水平渐近线通过零值转变为负的右支水平渐近线。这是由于磁化二次场逐渐被削弱而感应二次场逐渐占优势，最后由于趋肤效应的作用达到饱和值。

响应函数的这一变化规律告诉我们，当观测频率很低时，由于响应参数｜ kr₀｜ 很小，在无磁性导体上可观测到虚分量异常大于实分量异常，而在导磁性良导体（如磁铁矿）上可观测到实分量大于虚分量异常，但其异常值为相反符号。当频率很高时，可观测到实分量异常大于虚分量异常，且它们具有同一符号。

将（1⁃3⁃277）式变换为直角坐标系，则

地电场与电法勘探

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式中r=

。根据上式计算的球体理论剖面曲线示于图1⁃3⁃30上。由于函数D有实部和虚部，故垂直分量和水平分量各有实部和虚部。垂直分量实、虚部的几何因子完全相同，因此其曲线形态也完全相同，但其振幅值与函数D有关。水平分量也如此。

（二）均匀一次场中球体的瞬变场

将半径为a、电导率为σ的球体放在边长为2l的方形单匝发射回线场中，在回线平面下深h处（到球心）。如果埋深h或回线大小比球体的半径大得多（2～3倍），则可以近似地认为球体内的一次场是均匀的，在数值上等于球心的回线场垂直分量。

设发射回线中的电流阶跃地下降到零，则有关组合的响应公式分别如下。

1.重叠回线或同一回线的响应

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其中量纲为一的振幅A

是一几何乘数：

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几何或坐标函数：

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地电场与电法勘探

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x₀为球外心到回线中心的距离；

=x₀/h；

=l/h；

=a/h；l为回线半边长。

均匀场中由球体引起的信号的过渡特性为

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球信号的衰减指数：

α=1/（σμ₀α²）（1⁃3⁃285）

μ₀=4π×10^-7H/m。

当x₀=0，即回线中心正在球体中心上方时，响应可简化为

地电场与电法勘探

式中 b=2l，即回线边长；τ=1/（π²α）为（衰减）时间常数。

2.大回线内响应

在固定方形回线中部，移动接收线圈测量ε_z和ε_x的响应为

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式中A_R是接收线圈的有效面积；

=x/h是球外心到测点的距离；f（h/l）由下式解出：

地电场与电法勘探

垂直和水平分量的几何（坐标）函数由下式给定：

地电场与电法勘探

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当x=0，b≫h时，（1⁃3⁃287）可简化为下式：

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以

（α，t）/（6α）表示球的过渡特性，并绘于图1⁃3⁃31。由图可见，当αt＞0.1时，第一指数（即仅取k=1一项）描述此衰减精度已足够，即

地电场与电法勘探

由公式（1⁃3⁃279）和（1⁃3⁃287）等式可知，部面的响应特征取决于几何函数F（

，

）和f_z，x（

）。图1⁃3⁃32所示为不同回线边长的几何函数曲线

图1⁃3⁃31 球体的瞬变响应函数

图1⁃3⁃32 球体的几何函数曲线

沿x轴距离：重叠回线 x^-₀=x₀/h；大回线内 x^-=x/h；1—重叠回线；2—回线内垂直分量；3—回线内水平分量（据 G.Buselli）

3.导电球体中涡流建立与消失的物理过程

设球体位于均匀的一次场中，当发射回线中的电流突然关断，一次场瞬间消失时，按法拉第定律为了维持球内原来的均匀磁场，立即感应出涡流，并仅仅分布在球体的表面（图1⁃3⁃33（a），（b））。所以，此时（称之为早期）涡流的分布与球体的电导率无关，或者说它受到高频的限制，因为涡流的分布正像球体在非常高频的交变磁场中产生趋肤效应那样。之后，球体内部环形电流的分布因受由这些电流引起的磁场相互影响所支配，将向球内移动，这段时期称之为“中期”（图1⁃3⁃33（c））。在中期电流不仅向内移动而且因热耗损而减弱。最后电流的分布不再随时间而改变，此为“晚期”（图1⁃3⁃33（d））。此时电流这样分布：靠近球心电流密度沿半径的距离线性地增加，在二分之一半径内相对均匀的分布，并向球边缘微微地减弱（图1⁃3⁃34）。该“晚期”的电流和相应的外部磁场开始以某一时间常数呈指数衰减，直到消失。

图1⁃3⁃33 不同时期球体中涡流的分布

（a）早期涡流在球体表面的分布；（b）～（d）不同时期球赤道平面上的涡流分布（据J.D.McNeill）

图1⁃3⁃34 球体内电流密度的径向分布（据J.D.McNeill）