父亲去世,母亲健在,房产证上是母亲的名字

这个问题需要具体分析，不能一概而论。
登记在婚姻关系一方名下的房子，归属于谁存在几种可能性。一是，母亲一方婚前取得的房子，登记在其名下，属于母亲个人财产。二是，房子是在婚姻存续期间取得，如果夫妻双方没有实行约定财产制，这个房子是双方共有的，无论登记在谁的名下。三是，婚后取得的房产，如果双方实行约定财产制，根据约定情况确定权属。
父亲逝世后，会发生财产继承，如果父亲未留遗嘱，其财产由第一顺位继承人（配偶，父母，子女）进行法定继承。
如果房产是前述第一种情形，因产权人不是父亲，该房产不发生继承，母亲想给谁是她的自由。
如果房产是前述第二种情形，父亲逝世时，母亲的一半房产份额不发生继承，父亲的一半房产份额发生继承，即就父亲的二分之一，每个继承人都可以得到一份。而且，因继承发生的房产权利转移无需登记，即父亲逝世时，各个继承人都已经是房产的权利人，是否登记不影响继承权利取得。继承发生后，母亲只是这个房产的权利人之一，其将全部房产登记在其中一个子女名下，会侵犯其他子女的继承权，受到侵害的子女可以起诉维权。
如果房产是前述第三种情形，财产归属约定中包括父亲份额的，母亲将全部房产登记到其中一个继承人名下，会侵犯其他继承人的权利，参照前述第二种方式解决。如果财产归属约定全部房产权利归母亲，参照前述第一种情形解决。

法律分析：虽然房产登记在你母亲名下，但该房应定性为你父母的夫妻共同财产。你父亲去世应当先行分割夫妻二人财产，及房屋价值的一半属于你母亲的个人财产，另一半没有遗嘱则由第一顺序继承人平分。继承权男女平等，第一顺序有：父亲的配偶、父亲的子女和父亲的父母。如果继承人协商同意的，也可以全给一个人。
法律依据：《中华人民共和国民法典》
第一千一百二十三条 继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
第一千一百二十七条 遗产按照下列顺序继承：（一）第一顺序：配偶、子女、父母；（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。
第一千一百三十条 同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。
对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时，应当予以照顾。
对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。
有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。
继承人协商同意的，也可以不均等。

法律分析：虽然房产登记在母亲名下，但该房应定性为父母的夫妻共同财产。父亲去世应当先行分割夫妻二人财产，及房屋价值的一半属于母亲的个人财产，另一半没有遗嘱则由第一顺序继承人平分。继承权男女平等，第一顺序有：父亲的配偶、父亲的子女和父亲的父母。如果继承人协商同意的，也可以全给一个人。

法律依据：《中华人民共和国民法典》

第一千一百二十三条 继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。

第一千一百二十七条 遗产按照下列顺序继承：（一）第一顺序：配偶、子女、父母；（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。