脆性破坏的强度理论

脆性材料一般用第一、第二强度理论进行判断，
如果三个方向都是压应力，就要采用第三强度理论。

s as through your eyes

一、最大拉应力理论

1.三向拉伸

在三个主应力全是拉伸的情况下，以其中最大拉应力（σ₃）是否达到某一临界值来作为物体破坏的依据，而对其他两个拉应力，则不予考虑。

2.有拉有压

在拉应力和压应力共同作用下，以最大拉伸应变达到某个限度，来判断将出现断裂与否。这个限度也是通过简单的试验来确定的。最大拉伸应变ε₃为：

碎岩工程学

在单向拉伸时，极限强度为R_拉，故σ₃=-R_拉，σ₁=σ₂=0，因此有：

碎岩工程学

再将上述结果代入式（1-2-4），可求得σ₃是：

碎岩工程学

上式中σ₃是产生断裂所需的拉应力。从式中可见，当两侧存在压应力σ₁、σ₂时，在第三方向的应变较大，故易拉断。

由单向压缩也能引起侧面伸张而导致断裂，这时σ₃=-R_拉，σ₁=σ₂=0，即：

碎岩工程学

比较上述两式（1-2-5）、（1-2-6），最大拉伸变形理论必然推论出R_压和R_拉之比是：

碎岩工程学

μ值是平常在0.2～0.5范围，故脆断的抗压强度应是抗拉强度的2～5倍。对于岩石来说，此数还小于实际数值。

二、裂纹扩展理论［A·格里菲斯（Griffith）理论］

断裂时的应力，通常远远低于材料的屈服极限。20世纪50年代曾发生过的各种结构物的脆性破坏，如一根粗轴、一架飞机、一艘轮船工作时，突然断成两半，这用传统的强度理论和计算方法无法解释。但是因为在结构物中，由于加工会造成构件的宏观裂隙，即使加工过程中原来没有这种裂隙，但由于工作时的交替载荷作用、介质腐蚀等，也会造成宏观裂隙。这些裂隙的扩展，就是脆性断裂的主要根源。岩体（或构件）本身更是如此，天然应力场所造成的裂隙与各种包裹体所形成的裂隙，在其内部往往比较发育。

传统的计算常用安全系数，初看起来似乎考虑了裂隙存在的因素，但由于缺乏可靠的依据，难于较精确地估计裂纹对岩体或构件强度的影响。

断裂力学是对传统强度计算的发展。它主要研究裂纹扩展的条件和规律，探索裂纹对材料的影响，是近20年才迅速发展起来的新学科。

英国人格里菲斯于1921年提出：破裂是微小裂隙尖端的应力集中引起的。他认为，在任何材料内部都存在着各种缺陷（裂隙），当这些裂隙处于复杂应力状态之下，在这些裂隙的端部便会产生大的拉应力集中，当这个拉应力值超过该点材料的抗拉强度值时，这些裂隙便开始扩展（其方向最后将与最大主应力作用线方向平行）导致材料在拉应力作用下断裂。格里菲斯曾用细玻璃丝做试验，发现玻璃丝直径为3.3μm时，其拉伸强度为35000kg/cm²，比大尺寸的高出50倍；直径为0.5μm、刚拉成的玻璃丝，则强度可达63000kg/cm²，这就说明直径小的玻璃丝内存在裂隙的几率减小的缘故。这也清楚地证明了脆性材料中，由于内部存在有细微的缺陷，抗拉强度将大幅度地降低。

（一）裂纹扩展的条件

设有一单位厚度的、平面尺寸为无限大的平板，并受单向均布载荷σ的作用，若在板的中间开一个椭圆孔，它的尺寸比起板来为极小，椭圆的长轴和载荷方向相垂直，如图1-2-8。孔便引起板中应力的重新分布。

1913年茵格里斯（Inglis）给出了椭圆孔附近应力状态的解。可以想像，在离孔远处，应力分布受孔的干扰很小，基本上还是均匀分布的。在长轴两端点上，必然集中有较高的应力；在短轴两侧，则应力被卸除，形成低应力区。当椭圆的短轴长度衰减至零时，便是一条长度为2a的裂纹，这时在裂纹顶端附近X轴上的应力分量σ_y是

碎岩工程学

上式表明：在裂纹的顶端，应力无穷大。但实际上裂纹的短轴并非为零，其端点必有一个曲率半径ρ，这时裂纹端点的应力是：σ_max=σ（1+2）。

当p≪a时，可转换成：σ_max=2σ。即孔附近的应力与σ、成正比，与ρ成反比。

若以右边的尖端为原点，并采用极坐标计算（图1-2-8右），则板内应力可按下式计算：

图1-2-8 椭圆裂纹附近应力分布

碎岩工程学

也就是说，裂纹附近的应力均与σ有关。

若将上述三式简化为：K=Yσ，则上式中K通常称之为应力强度因子；Y为系数，它与裂纹方向、型式、尺寸、位置有关，而与 σ、a 无关（Y值可由专门的分析得到，并在手册中可查出）。

当载荷σ或裂纹长度a达到某一临界值时，裂纹就发生扩展，这种临界情况下的应力强度因子，称为断裂韧性，用K_c来表示。它也属于材料的固有性质之一，是材料断裂的判据。K_c可通过计算而得，或通过实际测定。如果实际构件的应力强度因子K₁＜K_c，就不会发生裂纹的失稳扩展。

应力强度因子的推导与计算，此处从略。但若为二维问题，则按：K₁=1.12σ；若为三维问题，则按：K₁=计算。

再从能量的观点来考察裂纹的扩展条件：

图1-2-9 无限大平板上的穿透裂纹

取一单元厚度为t的无限大平板，当其y方向受到拉应力σ时，将其边固定，此时平板内单位体积的变形能为σ²／2E。如在板上割开一个长为2a、且垂直于σ的穿透裂纹（图1-2-9），其变形能实际上是减少的，释放出来的能量为：

碎岩工程学

若裂纹的每一端扩展的虚拟长度为da，则ΔU的相应增量为：

碎岩工程学

裂纹扩展后，造成新表面所需要的表面能为：

碎岩工程学

式中：T为单位面积表面能。长为2a的裂纹，其上、下两个裂纹的面积是4at。

当裂纹扩展到一个假定的da时，若释放的能量小于表面能的增量∂（ΔW），则表示裂纹不会扩展，它是稳定的。反之，若大于表面能的增量∂（ΔW），则表示裂纹已发生不稳定的急剧扩展。因此，裂纹失稳的临界条件为：

碎岩工程学

由此而得：σ=

上式为当平板有一个2a的裂纹时，所给出的使裂纹扩展的应力临界值。

（二）有裂纹的强度理论

某材料在双向应力作用下产生裂纹，裂纹方向是随机的，裂纹表面各个部位的拉应力是不等的，某一个方向的裂纹表面将产生最大拉应力，正是这个应力导致材料的断裂。

图1-2-10 双向受拉的斜裂纹

1.当试件作双向受拉时

如图1-2-10所示，求斜裂纹的最大拉应力σ_m和夹角θ₀。通过繁复的力学计算，可求得：

碎岩工程学

式中：a为裂纹半长；ρ为曲率半径。

从上式获得的结论是：σ_m与σ_A、σ_B、β角有关。

例如，在单向拉伸条件下：当σ_A＞σ_拉；σ_B=0。代入上式，则得：

碎岩工程学

当β=时，拉应力垂直于裂纹，则得：σ_m=2σ_拉

试件单向拉伸时，以β=的裂纹最易断裂；将抗拉强度R_拉代入，则有：

碎岩工程学

若R_拉＞［R_拉］，则发生断裂（［R_拉］为材料允许的抗拉强度）。

2.当试件作双向受压时

其断裂条件为：（σ_A-σ_B）²+8R_拉（σ_A+σ_B）=0。故当：R_拉=＞[R_拉]时，便发生断裂。

若作单向压缩试验时，即σ_A=σ_压，σ_B=0，则：R_拉=，试验结果较符合实际。