(2012?汕头一模)如图,直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,PA⊥平面ABC,DC=BC=2PA,E为DB的

kuaidi.ping-jia.net  作者:佚名   更新日期:2024-06-25
如图,直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,PA⊥平面ABC,DC=BC=2PA,E为DB的中点。

(1)证明:取BC的中点O,连接EO,AO,则EO//DC,所以EO⊥BC, 因为△ABC为等边三角形,所以BC⊥AO, 所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE。(2)解:连接PE,因为面BCD⊥面ABC,DC⊥BC,所以DC⊥面ABC,而EO DC, 所以EO PA,故四边形APEO为矩形,易证PE⊥面BCD,连接EF,则∠PFE为PF与面DBC所成的角, 又PE⊥面BCD,所以 , ∴∠BEF为面PBE与面PFE所成的角,即 ,此时点F即在线段BO上移动,设DC=BC=2PA=2,则 , ,所以直线PF与平面DBC所成的角的范围为 。

(1)连接EF,AF ∵平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,CD⊥BC∴CD⊥平面ABC,结合PA⊥平面ABC,可得PA ∥ CD∵EF是△BCD的中位线,∴EF ∥ CD且EF= 1 2 CD∵PA ∥ CD且PA= 1 2 CD,∴四边形PAFE是平行四边形,可得PE ∥ AF,∵PE?平面ABC,AF?平面ABC,∴PE ∥ 平面ABC;(2)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴BC⊥PA∵正△ABC中,F为BC中点,∴BC⊥AF∵AF、PA是平面PAFE内的相交直线,∴BC⊥平面PAFE,∵AF?平面PAFE,∴AE⊥BC;(3)∵平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,AF⊥BC∴AF⊥平面BCD,结合PE ∥ AF可得PE⊥平面BCD,因此,∠PFE就是直线PF与平面BCD所成的角∵正△ABC中,F为BC中点,∴AF= 3 2 BC,可得PE= 3 2 BC,又∵△BCD的中位线FE= 1 2 CD,CD=BC,∴FE= 1 2 BC因此RtPEF中,tan∠PFE= PE FE = 3 ,可得∠PFE=60°即直线PF与平面BCD所成的角的大小为60°.

取BC得中点M,连接EM,AM,
∵直角△BCD中,DC=BC,∴DC⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,∴DC⊥平面ABC
∵△BCD中,EM是中位线,∴EM∥DC,可得EM⊥平面ABC
∵AM是等边△ABC的中线,∴AM⊥BC
分别以MA、MB、ME为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=BC=AC=DC=2,则PA=1,BD=2


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