如何促进学生数学地思考
一、创设良好的开端，引发兴趣
良好的开端是成功的一半。教师首先要把微笑带进课堂，以教师良好的情趣去感染学生，促使学生形成一种良好的心理态势，为一节课的学习作好必要的心理铺垫。如果开场白讲的好，就能先生夺人，造成学生渴望追求新知的心理状态，激发起他们的学习兴趣，吸引其注意力，宛如平静的湖面上投石，激起一片思维涟漪，产生急欲一听的感染力，因此，导入新课要在“求奇、求趣、求妙、求新”上下功夫。
二、创设课堂情境，激发学习兴趣
对于小学生而言，教师把教材中的问题编成生动形象的童话故事，富有趣味性的问题情境，能有效地调动学生积极参与学习活动。如在教学“年、月、日”时，教师发问：“同学们喜欢过生日吗？”学生们都高兴地回答：“喜欢！”接着又问了几个学生：“你几岁了？过了几个生日？”学生依次回答后，教师说：“同学们，一般情况下，一个人有几岁，就过了几个生日？可是小明满12岁的时候，只过了3个生日。这是为什么呢？你们想不想知道其中的秘密？”学生们听了，个个情绪高涨，一种强烈的求知欲油然而生，学生的学习热情贯穿整节课的始终。
三、以语言的艺术增强数学的趣味性
语言是完成教学任务的主要手段。教师的语言科学准确、生动形象、幽默风趣、亲切自然，会使学生在潜移默化中受到启发、鼓励和陶冶。数学这门学科系统性和抽象性较强，更需要教师能以精湛的语言艺术，并赋以优美恰当的表情、动作、手势、变无趣为有趣，变无声为有声，变无形为有形，为学生营造一个良好的语言艺术氛围，使他们在愉悦、和谐的气氛中产生共鸣，激发学生对学习数学的兴趣。
四、进行实践操作活动，激发学习兴趣
在教学过程中，既要重视直观教具的使用，同时也要尽可能变教具为学具，让学生通过操作、讨论、思考、应用等形式充分感知，让学生亲自体验探究，能培养和激发学生学习的兴趣，也培养了学生动手的实际能力，让学生用动促思，以思促言，达到学以致用，自主学习的境界，从中发现并获取知识。
五、应用多媒体教学，提高学生的学习兴趣
采用多媒体教学，能给学生多重感官刺激，这种直观教学，增大了课堂容量。多媒体技术既能看得见，又能听得见，还能用手操作，优生和差生的主动性、积极性都被调动起来。优生从被动等待中解放出来，差生从被动压抑中解放出来，小学数学课堂呈现出多边、互动、轻松愉快、生动活泼的场面。
一．从自学中培养独*立思考能力 自学，是在教*师指导下学*生为了获取新知识而独*立开展的学习活动。要培养学*生独*立思考的能力，我们可以从学*生的自学中进行。开始时，教*师可提出自学要求或编拟自学提纲，让学*生在教*师正式授课之前按自学要求或对照自学提纲在课前或课内自学课本。自学时可以讨论，看不懂的地方可以做上记号，然后问问老*师或同学。经过一段时间的训练之后，可以逐步从依赖自学提纲过渡到不依赖自学提纲，最后完全放手让学*生自学。通*过这个途径，培养学*生独*立学习知识和掌握技能的能力，发展学*生的思维能力。例如，在教学六年制小学数学第五册“长方形和正方形的认识”时，教*师就可以提出这样的自学要求和思考问题：（1）自学课本第100页例1（从顺数第三行到倒数第五*行），边看边思考；（2）例1中的两个图形各是什么形？它们各有几条边，几个角？每个角是什么角？用三角板比比看：（3）长方形和正方形有什么相同点和不同点？可以互相讨论。在教*师指导下，学*生通*过看书、思考、辅以议论、质疑、操作，达到了掌握知识、发展思维、培养自学能力的目的。 二、在探讨中培养分析问题能力 在学习新知阶段，教*师重视加强操作感和知识迁移的指导，从整体到局部设计有坡度、有层次、有启发性、符合学*生认识规律的系列问题和操作要求，让学*生经历探索新知识的思维过程，引导学*生自己想问题、寻方法、作结论，发现新知识的规律，从而培养学*生学习能力，发展学*生智力。例如，在教学六年制小学数学第七册52页例2“乘数是三位数的乘法时，”在结合计算 （一学*生板演、其余座练）这道题复习了两位数乘多位数的计算法则后，教*师把板演竖式中的积擦去，在乘数上添上百位数2，如下式： 使学*生呈现新问题。接着，教*师提出自学探讨问题：①现在乘数增加了一个百位数，应该怎样继续乘下去？②乘数的百位上的数是在什么情况下去乘的，它是怎样去乘的？③它和用个位上的数、十位上的数去乘有什么相同和不同的地方？④ 为什么百位上的数乘被乘数所得的积的末位要与百位对齐？在教*师的明确指导下，学*生的自学思考过程就进入到一个有*意义的、有序的信息系统中，然后在展开观察、分析、综合、比较、议论、动手尝试等一系列活动中，充分调动学*生主动获取知识的积极性，这样就有利于培养学*生的探究能力和提高学*生分析解决问题的能力，促进学*生思维的发展。
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三、从说理中培养语言表达能力。 培养学*生逻辑思维能力和训练学*生的数学语言是分不开的。语言是思维的工具，思维过程要靠语言表达，而语言的发展又能促进学*生思维的发展。因此，在教学中教*师应创造条件让学*生更多地说理。如：说定义、定律、法则、公式、过程、算理、方法、规律、题意、思路、数量关系、式义等，从说理中训练和培养学*生的语言表达能力，从而达到发展学*生数学思维的目的。例如，在教学六年制小学数学第九册“梯形面积的计算”时，当学*生通*过动手操作把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形后，教*师启发学*生看图用准确简炼的数学语言，有条理、有根据地叙述公式的推导过程。即，两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平形四边形的底等于这两个梯形的上底与下底的和，高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。这样不仅可以训练学*生的语言表达能力，加深学*生对知识的理解，也培养了学*生思维的逻辑性。 四、从训练中培养灵活思维能力 这里所说的训练是指课堂练习。练习是数学教学的重要组成部分，是使学*生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段，这是沟通知识与能力的桥梁。教*师有目的、有计划、有步骤的精心巧设有指导性的课堂练习是培养学*生思维灵活性和发展学*生逻辑思维能的重要途径。因此，在小学数学教学过程中，当学*生学习过一个新知识后，教*师可根据教学内容和要求，从这几个方面精心设计练习：①围绕教学重、难点设计专项练习；②针对易混易错知识设计对比性练习；③根据学*生的思维特点设计变式练习；④根据不同程度的学*生设计不同层次的练习。通*过训练，巩固基础知识，克服思维定势，提高学*生的应变能力和综合解决问题的能力。 五、从评讲中培养判断推理能力 一般来说，在课堂上，教学了例题后，教*师都要给学*生进行巩固练习，学*生练习完后还要组*织评讲，让学*生运用数学概念、基本原理对每种问题先作出肯定或否定，然后再作出合乎逻辑的解释，有根有据地说明理由，这与引导学*生经历各种思维过程一样，都是培养初步的逻辑思维能力的需要。 六、从小结中培养归纳概括能力 一般来说，在课堂上，对所教学的
2015-03-27
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叶圣陶先生曾指出：教是为了不教。数学教学要达到“不教”的境界，关键是让学生学会“数学地思考”。 “数学地思考”又称为数学地思维，认为数学地思考意味着：（1）用数学家的眼光看世界，即具有构造模型、符号化、抽象化等数学化倾向；（2）具有成功地实行数学化的能力。
美国学者Crows认为，学会数学思考就是形成数学化和抽象化的数学观点、运用数学进行预测以及运用数学工具解决问题的能力。还有人认为数学地思考是在面临各种问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度思考解决问题的途径。
我国的数学课程标准将“数学思考”作为数学课程的目标之一。美国的数学教育文件《人人关注数学教育的未来》中指出：“……美国人比过去任何时候都需要数学地思考。”英国的国家数学课程标准中也提出“使学生有机会运用一系列思考策略进行活动，以巩固和发展相关的知识和技能，发展数学思考能力。”
“数学地思考”，其本质是让学生在面临各种问题情境时从数学的角度去观察分析问题，发现其中所存在的数学信息，并运用数学知识与方法解决问题的思考方式与能力。可见，数学地思考，首先要解决“思考什么”的问题；在抽象出数学问题后，能对相关数学信息进行分析、研究，展开思考的过程；最后应该是在反思与回顾中提升原有认识，积累思考的经验、策略。现以《认识面积》的教学为例，探讨如何引导学生学会数学地思考。
一、明确观察角度，让“思考”有方向
（一）从数与形的角度观察
思考的前提是学生要知道思考什么，知道问题是怎样产生的。否则学生只能按图索骥。因为“体”对于学生而言更加直观，所以教学时，我引导学生经历了“体—面—面有大小—揭示面积的含义”这一认知过程。
【片段1】
1、摸一摸，认识“物体的表面”。
师：生活中有许多物体，每个物体都有它的表面。你能摸摸这个纸巾盒的表面吗？
师：谁能摸摸这个球的表面？（这是个曲面的物体）
师：数学书有几个面？这是数学书的封面，我们一起来摸一摸。
要求：请你找一些物体，摸一摸它的面，边摸边思考，它们有什么不同。
2、比一比，认识“物体表面”的大小。
师：你摸了哪些面？展示给大家看看（3个人说，其中一个是曲面）你摸的这些面， 有什么不同？
生：平平的、滑滑的，有的弯曲，有的平，形状不同，有大有小。
师：从数学的角度观察，它们有什么不同？（板书：大小）
师：我们摸的这些面都是物体的表面。（板书：物体表面）
3、说一说。
师：比比黑板的表面和数学书的封面，说说哪一个面比较大，哪一个面比较小？
师：物体表面有大有小，我们把“物体表面的大小叫作它们的面积”。（板书：物体表面的大小叫作它们的面积）你能说说谁的面积比谁的面积大或小吗？
现实生活中，我们会看到很多物体，但观察的时候角度是多样的。如果从数学的角度看，关注其表面的“形状”与“大小”，这样就能帮助学生明确不论是物体的面还是图形的面，不论是平面还是曲面，都可以讲面的大小归在一起作为对象加以研究，很自然地概括面积的含义。
（二）从概念外延与反例进行思考
我们期待学生拥有一双“数学的眼睛”，不仅能从“数与形”的角度观察，还能善于沟通相关知识之间的联系，延续有价值的思考。
【片段2】
1、画出实物图形的一个面，抽象出平面图形。
师 如果我们沿着作业本的封面边框画出来，画出来的是什么图形？它与原来的封面有什么关系呢？
生 周长一样、长一样，宽一样，面积一样。（重合）
2、辨析，明确封闭图形的面积。
师：你们说它的面积与这个封面的面积相等，其实你们想说的是这个长方形有面积。聪明的同学自然会想：其他图形会有面积吗？
出示各种图形，让学生先说一说。然后在画图工具中演示。
交流：明确哪些是封闭图形（课件中隐去后两个图形），封闭图形的大小是它们的面积。（板书）
一句“其他平面图形都有它们的面积吗”，迅速将学生的思考扩展开来，由特殊的长方形过渡到一般的平面图形。在猜测、争论时借助画图工具演示，让学生直观地看到不封闭的图形没有“面积”。值得一提的是，用画图工具演示时，学生们竟然自发地欢呼起来，这是数学思考被证实后最热切的温度。
二、经历数学活动，让“思考”有过程
要教会学生思考，必须要让学生经历思考的过程。所以创设一个内涵丰富、颇有研究价值的数学活动，让学生实实在在地经历思考过程，积累思考经验尤为重要。
（一）聚焦矛盾，让思考有抓手
课堂时空有限，常常需要教师集中矛盾，引导学生在争辩、反思与碰撞中明确研究的问题，提升思维品质。
【片段3】
师 下图中涂色部分表示的是这三个图形的面积吗？
学生独立思考。
师：你们认为谁准确地表示了面积？你还想说些什么？
第一幅图让学生明白红色部分再加上白色部分的面积就是原大长方形的面积。（揭示了面积的可加性）
第二幅图让学生明确周长与面积的区别。在用手势表示的过程中直观又深刻地加以理解。
第三幅图让学生明确不规则的平面图形，只要是封闭的就有面积，丰富面积的外延。
（二）回到源头，让思考有根基
如果说“聚焦矛盾”更多是从与新知相关连或易混淆旧知的矛盾处入手，让思考有抓手，那么能回到生活的源头，采撷那些不被注意或是学生的认识盲区，能使学生的思考更有根基。
在认识“面”的时候，我们往往关注的是“实”的面，而没有关注“虚”的面，如玻璃杯口的面积，因为杯口是空的，会让学生有错觉，以为杯口没有面积。
比较面积大小时，较小的面积可以直接看和量，而较大的面积根本看不到整体，怎样比呢？这类实际问题，会使学生置身于真实的问题状态，超越对教材中相关数学结论的认识，思考的基础更加厚实。
（三）关注差异，让思考有层次
一个成功的数学活动，应在最大程度上吸引孩子们参与，尽可能让全班同学都动起来，使得不同的人在数学上得到不同的发展。因而活动要尽可能考虑不同学生的思考特质，同时具有一定的挑战性，满足他们探索成功的心理需求。
【片段4】
通过刚才的学习，同学们已经知道了面积的含义，也知道面积有大小之分。下面图形中任选2个比一比，看看哪个面积大，说说你是怎么比的？出示4幅图形。（分别为图1是6厘米×4厘米的黄色长方形，图2是6厘米×4厘米的橘色长方形，图3是10厘米×2厘米的绿色长方形，图4是边长2厘米的红色正方形，以及每个方格边长是1厘米的透明方格纸。）
1、比较明显差异的大小（观察法）。
学生很快就比出图1和图4，图2和图4，图3和图4。（学生刚解决完第一个问题就有学生问怎么比较图1和图3的面积）
四人小组分组合作解决问题，教师提示：信封中还有一件礼物（特指方格纸），不到万不得已，请不要用。
2、比较差不多的面积大小（重叠法、剪拼法）。
教学中有学生受一维长度比较的负迁移，以为只要比较两个长方形的一条边就可以。学生再反驳，调整，必须要让一个直角重叠，就是做到两个维度同时比较。有学生将图1对折变成2个6厘米×2厘米的长方形，再量10厘米×2厘米的长方形，发现只够摆一个6厘米×2厘米的长方形，其实这种方法就是用同一标准“6厘米×2厘米的长方形”来量；有学生都将图形对折，变成6厘米×2厘米与5厘米×2厘米的对比，其实这也是在找一个标准，因为对折后的图形宽一样，只要比长就可以了，这样就将二维问题转化为一维问题；有的用最小的图形边长2厘米的正方形来直接摆图1和图3；当然还有的直接用信封中的透明方格纸度量，得出结论。其间，还有学生说知道了长方形和正方形面积计算的方法。
3、比较差不多，却不能重叠的图形大小，必须用相同的标准（印章、橡皮等）。
4、比较不规则的多边形，明确用同样大的方格最方便。
5、争论：4个格子的长方形面积是否大于8个格子的长方形。强化必须要统一标准。
在上面的数学活动中，学生表现得很兴奋，每个人都很激动地交流自己的想法，其中既有粗糙的、不够完善的，也有相当精辟的见解，还有意外的收获。引导学生思考，不仅在乎思考的结果，更应在乎思考的过程。要关注是否激发了学生思考的内需，是否在思维上具有一定的挑战性，是否能尽可能让每个学生都能主动参与。只有让学生经历了思考的过程，学生才能积累丰富的思考经验，同时成功的探索经验也会激励学生进一步思考未知旅程。
三、理清思考脉络，让“思考”有经验
（一）“退远一些”，理清认知路径
曾经我们以为，成功的数学教学要使学生走出课堂后不再有任何“问题”。其实，数学思考是连续性的活动，好的数学教学应是认知从不平衡走向平衡，随之又走向更高层次的不平衡的螺旋上升的过程，那么学生走出课堂时产生新的感悟甚至新的疑问，反而应该成为我们的追求。为此，教师需要“退远一些”，就像制作板报一样，从远处感受局部与整体之间是否和谐。
这节课旨在由关注“不同物体的表面或封闭图形的形状与大小”揭示面积的含义，然后由“观察”知道面积有大有小，而“观察”不能解决问题时就需要采用重叠等方法进行比较，而重叠的本质是寻找同一个标准进行比较，这就孕伏了用面积单位计量面积的思维方法。而有学生想到的“测量”的方式既是把二维的“面积问题”转化成已知的一维“长度问题”，又为以后学习面积的计算公式（间接计量）奠定了基础。
在学生经历了思考的过程之后，我们需要引导学生“退远一些”，把认知的路径重新梳理一遍，以感悟其中所蕴含的思维方法，为后续的学习积累经验。
(二)“看远一些”，提炼数学本质
有人说，要学会做一个“懒老师”。是的，一个“懒老师”不是教一个知识点，而是教一类问题的思考方式，甚至把相关问题串起来，教学生以“滚雪球”的方式进行学习。教学《认知面积》的思路其实与长度的认识、体积的认识有很多内在的相似性，将一维、二维、三维的概念形成一个整体。比如对于比较的方法，一维的线只要起点一致；二维的面要角重叠，兼顾两个维度，或者使其中一个维度一样，比较另一个维度，其本质是向一维转化；三维的体自然要比较三个维度。虽然维度增加了，但比较的思维方法却是一脉相承的。最简单的办法是，选择一个“单位”进行直接计量。这是计量长度、面积和体积的内在逻辑关联。
如果我们这样思考课堂，并愿意付出探索性的努力，那么学生可能会不断发现数学学习的乐趣，会觉得数学并不那么难。慢慢地，他们也就能逐步学会“数学地思考”。
答：1、丰富教学方式。改变单一讲授式教学方式，注重启发式、探究式、参与式、互动式等，积极开展跨学科的主题式学习和项目式学习等综合性教学活动。2、重视单元整体教学设计。改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握。
答：5、开展探究性学习：通过引导学生进行探究性学习，让他们主动探究数学问题，培养他们的独立思考能力和解决问题的能力。6、创设问题情境：通过创设问题情境，让学生置身于问题之中，激发他们解决问题的欲望，促进数学思维的发展。7、注重反思总结：引导学生对所学知识进行反思总结，加深对数学知识的理解，巩固...
答：在数学课堂教学中，教师要引导学生勤于猜想，敢于猜想，善于猜想，鼓励学生思考，让他们自由想象，从而达到培养学生的创造性思维能力。1．通过猜想，培养思维的独创性。现代教学是发生在教师和学生之间互相传输信息的过程，因而在教学方法上，教师必须最大限度地调动学生的学习积极性，鼓励他们“标新立异”，...
答：学生运用语言表达出自己在数学学习中的新思想、新发现，可以帮助学生系统地思考问题、探究问题，深化对问题的理解，找到成功的感受和体验，增强学习数学的自信心，在教学中让学生编写“我和数学”的故事，写“数学日记”，可以培养对数学的感受能力，深化理解所学的数学知识，引导学生感受数学就在身边，数学...
答：我们必须记住教师的知识点,正确理解各种公式的推理过程,并试着记住而不是采用"不确定的书籍阅读".勤于思考,对于一些问题试着用大脑去思考,认真分析问题,尝试自己解决问题.二、多做习题,养成解决问题的好习惯.如果你想学好数学,你需要提出更多问题,熟悉各种问题的解决问题的想法.首先,我们先从课本的题目为...
答：2、运用多媒体教学，促进学生积极思维。小学数学教学中，教师要合理运用多媒体，使得课堂教学信息呈现多样化，让学生从中感受形象、直观、生动有趣的数学知识。多媒体容易激发学生的学习兴趣，激发学生的积极思维能力。采用多媒体教学将抽象的数学知识转变为具体的知识，有效的帮助学生突破思维能力，从而促进学生...
答：一、兴趣调动法 兴趣是学习的先导。浓厚的兴趣是思维兴奋的最佳催化剂。心理学证明，学生如果对所学材料不感兴趣，则思维就会处于抑制状态；反之，思维就会处于兴奋状态。据此，教师在教学过程中就必须首先设法激活学生的兴趣，然后用这个激活了的兴趣去启动学生的思维。二、情感渲染法 如果说，兴趣是学习的...
答：对预习阶段的学习内容进行反思,可以让学生在以后的预习之中更加有效地开展相关的预习,也可以让学生更好地认识到相关的问题。教学分析阶段的反思对学生的数学思维和逻辑能力的完善有巨大的帮助。对训练阶段进行反思,则会让学生在回顾某一类题目的解答过程中温习所学知识,可以让学生在长期的思考中找寻出某一类题型的解答...
答：在多媒体教学中开拓数学思维“数学是思维的体操”。现代化媒体能形象地模拟思维世界,再现思维过程,促使学生由形象思维向抽象思维、发散思维过渡,逐步发展逻辑思维能力。例如在教学“圆柱体的侧面积”时,利用多媒体课件先在屏幕上显示一个圆柱体,让学生想象和思考“圆柱体的侧面展开后是什么形状?”接着,画面上缓缓展开...
答：二、让学生积极参与教学活动 要发挥学生主体地位，必须提高学生的主体意识，即学生对于自己学习主体地位、主体能力、主体价值的一种自觉意识。而要唤醒和增强学生的主体意识必须营造平等、民主和谐的课堂气氛。一个良好的课堂气氛，能促进师生双方交往互动，分享彼此的思考、意见和知识，交流彼此的情感、观念和...
