有关向量的题
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-08-02
有关向量的题
1.(北京理.2)已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ）
A．且c与d同向 B．且c与d反向
C．且c与d同向 D．且c与d反向
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
取a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
2.(北京文.2)已知向量，如果，那么
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
.【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
3.(福建理.9;文.12)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac ∣a∣=∣c∣,则∣b • c∣的值一定等于w.w
A．以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积
【解析】依题意可得故选C.
4.(广东理.6)一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为wA. 6 B.2 C. D. w.w.w.k.s.5.u.
【解析】，所以，选D.
5. (广东文.3)已知平面向量a= ，b=，则向量
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
【解析】,由及向量的性质可知,选C
6.(湖北理.4,文7)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于
【解析】由平面向量平行规律可知，仅当时，
：=为奇函数，故选D.
7. (湖北文.1)若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【解析】由计算可得故选B
8.(湖南文.4)如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．
B．
C．
D．
图1
【解析】得，
或.故选A.
9.(辽宁理,文.3)平面向量与的夹角为， ，则
（A） （B） （C）4 （D）12
【解析】，，，
，。选B
10.(宁夏海南理.9)
已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（A）重心外心垂心 （B）重心外心内心
（C）外心重心垂心 （D）外心重心内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
【解析】
;
选C
11.(全国理.6)设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( )
（A） （B） （C） (D)
【解析】是单位向量 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
,故选D.
12.(全国理,文.6)已知向量，,,则
（A） (B) (C) 5 (D) 25
【解析】将平方即可,故选C
13.(山东理.7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，
可以借助图形解答因为，所以点P
为线段AC的中点，所以应该选B。
14.(陕西理.8)在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A） （B） （C） (D)
【解析】 故选A
15.(浙江文.5)已知向量，．若向量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有 故D
16.(重庆理.4)已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【解析】故选C
17.(重庆文.4)已知向量若与平行，则实数的值是
A．-2 B．0 C．1 D．2
【解析】法1:因为，所以由于与平行，得，解得。
法2因为与平行，则存在常数，使，，根据向量共线的条件知，向量与共线，故故选D
二.填空题:
1. (安徽理.14)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
【解析】设
，即
∴
2. (安徽文.14)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC
的中点，若=+,其中,R ,则＋ _____ .学科网
【解析】
，∴，∴
3.(广东理.10)若平面向量，满足，平行于轴，，则 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】
或，则或.
4. (湖南文.15)如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则
___________，________ .
【解析】
作,设，,
由解得故
5. (江苏文理.2).已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= ___________。
【解析】考查数量积的运算。
6.(江西理.13)已知向量，，，若∥，则= ．
【解析】
7..(江西文.13)已知向量，， ，若 则= ．
【解析】因为所以
8.(天津理.15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是
【解析】因为==（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以
则四边形ABCD的面积为
9.(天津文.15)若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.
【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设
这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2.
三.解答题:
1.(广东理.16)已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.
（2）∵，，∴，则，∴.
2. (广东文.16)已知向量与互相垂直，其中
（1）求和的值
（2）若，,求的值
【解析】（1）,,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2)∵
, ,即
又 , ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3.(湖北理科17.) 已知向量
（Ⅰ）求向量的长度的最大值；
（Ⅱ）设，且，求的值。
【解析】（1）解法1：则
，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时，有所以向量的长度的最大值为2.
解法2：，，
当时，有，即，
的长度的最大值为2.
（2）解法1：由已知可得
。
，，即。
由，得，即。
,于是。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解法2：若，则，又由，得
，，即
，平方后化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得或，经检验，即为所求
4. (湖南理.16)在中，已知，求角A，B，C的大小.
【解析】设.
由得，所以.
又因此 .
由得，于是.
所以，，因此
，既.
由知，所以，从而
或，既或故
或。
5. (湖南文16.)已知向量
（Ⅰ）若，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若求的值。
【解析】（Ⅰ）因为，所以
于是，故
（Ⅱ）由知，
所以
从而，即，
于是.又由知，，
所以，或.
因此，或
6. (江苏文理.15)设向量学科（1）若与垂直，求的值；学科网
（2）求的最大值;学科网
（3）若，求证：∥..网
【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。
7.(浙江理.18)在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
【解析】（I）因为，，又由，得，
（II）对于，又，或，由余弦定理得，
20090423
8.(浙江文.18)在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
【解析】（Ⅰ）
又，，而，所以，所以的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以
所以
由b=c可以得出a点积b=a点积c，但是由b=c不能证明a点积b=a点积c。所以a点积b=a点积c是b=c的
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答：1.已知|a|=3,b=(1,2),且a//b,求a的坐标.2.与向量A(12,5)平行的单位向量为___。3.已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.4.已知向量A=(1,1),向量B=(1,-1)。将下列向量表示成xA+yB 的形式(x,y属于R)1)P=(2,3);2)Q=(-3,2)5.已知→OA=(k,12),→OB=(4,5),...
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答：ab=|a||b|cos135°=2×1×cos135°=2×1×（-根号2/2）=-根号2 a²=|a|²=2²=4 b²=|b|²=1²=1 所以 |3a-3b|²=9a²-18ab+9b²=9×4+18根号2+9=45+18根号2 即2向量c+向量d的模长为45+18根号2 有什么不明白的...
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答：bc=|b|*|c|*cos45=1*√2*√2/2=1,ca=|c|*|a|*cos45=√2*1*√2/2=1.(|a-b+c|的模)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca =1+1+2-0-2*1+2*1 =4,则|a-b+c|的模=2.2.一、原式=(a+b)-(c+d)-e=向量AC-向量CE-e,前面是对的,后面错了,(向量是有方向性的)...
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设a=(xi,yj,zk)
则a·i=x=|a|cos60°=5√2/2=5/√2
a·j=y=|a|cos120°=-5√2/2=-5/√2
又|a|=5√2=√(x²+y²+z²) ，得z=5
所以:a=(5/√2,-5/√2,5)
设 P（x，y），则向量 AP =（x+4，y），BP =（x，y+6），
向量 PA*PB = AP*PB = x(x+4)+y(y+6)
=(x+2)^2+(y+3)^2 - 13，
以下三种方法求最小值：
1、(x+2)^2+(y+3)^2 表示圆上的点 P 到点 Q（-2，-3）距离的平方，
由几何意义，所求最小值为 (d-r)^2 - 13 = (5-1)^2 - 13 = 3，
其中 d 表示圆心（1，1）到 Q 的距离 = √[(-2-1)^2+(-3-1)^2] = 5 。
2、因为 P 在圆 (x-1)^2+(y-1)^2=1 上，因此设 x=1+cosθ，y=1+sinθ，
则 PA*PB=(3+cosθ)^2+(4+sinθ)^2-13=6cosθ+8sinθ+13=10sin(θ+α)+13，
其中 cosα=4/5，sinα=3/5，因此最小值为 -10+13=3。
3、设 t=(x+2)^2+(y+3)^2-13，与圆方程联立得 t-1=6x+8y-2，
即 6x+8y-t-1=0，它表直线，其中（x，y）即在圆上又在直线上，因此有公共点，
所以圆心到直线距离不超过半径，即 |6+8-t-1| / √(36+64) ≤ 1，
解得 3≤t≤23，因此所求最小值为 3 （顺便可求得最大值为 23）
1.(北京理.2)已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ）
A．且c与d同向 B．且c与d反向
C．且c与d同向 D．且c与d反向
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
取a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
2.(北京文.2)已知向量，如果，那么
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
.【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
3.(福建理.9;文.12)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac ∣a∣=∣c∣,则∣b • c∣的值一定等于w.w
A．以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积
【解析】依题意可得故选C.
4.(广东理.6)一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为wA. 6 B.2 C. D. w.w.w.k.s.5.u.
【解析】，所以，选D.
5. (广东文.3)已知平面向量a= ，b=，则向量
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
【解析】,由及向量的性质可知,选C
6.(湖北理.4,文7)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于
【解析】由平面向量平行规律可知，仅当时，
：=为奇函数，故选D.
7. (湖北文.1)若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【解析】由计算可得故选B
8.(湖南文.4)如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．
B．
C．
D．
图1
【解析】得，
或.故选A.
9.(辽宁理,文.3)平面向量与的夹角为， ，则
（A） （B） （C）4 （D）12
【解析】，，，
，。选B
10.(宁夏海南理.9)
已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（A）重心外心垂心 （B）重心外心内心
（C）外心重心垂心 （D）外心重心内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
【解析】
;
选C
11.(全国理.6)设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( )
（A） （B） （C） (D)
【解析】是单位向量 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
,故选D.
12.(全国理,文.6)已知向量，,,则
（A） (B) (C) 5 (D) 25
【解析】将平方即可,故选C
13.(山东理.7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，
可以借助图形解答因为，所以点P
为线段AC的中点，所以应该选B。
14.(陕西理.8)在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A） （B） （C） (D)
【解析】 故选A
15.(浙江文.5)已知向量，．若向量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有 故D
16.(重庆理.4)已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【解析】故选C
17.(重庆文.4)已知向量若与平行，则实数的值是
A．-2 B．0 C．1 D．2
【解析】法1:因为，所以由于与平行，得，解得。
法2因为与平行，则存在常数，使，，根据向量共线的条件知，向量与共线，故故选D
二.填空题:
1. (安徽理.14)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
【解析】设
，即
∴
2. (安徽文.14)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC
的中点，若=+,其中,R ,则＋ _____ .学科网
【解析】
，∴，∴
3.(广东理.10)若平面向量，满足，平行于轴，，则 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】
或，则或.
4. (湖南文.15)如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则
___________，________ .
【解析】
作,设，,
由解得故
5. (江苏文理.2).已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= ___________。
【解析】考查数量积的运算。
6.(江西理.13)已知向量，，，若∥，则= ．
【解析】
7..(江西文.13)已知向量，， ，若 则= ．
【解析】因为所以
8.(天津理.15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是
【解析】因为==（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以
则四边形ABCD的面积为
9.(天津文.15)若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.
【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设
这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2.
三.解答题:
1.(广东理.16)已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.
（2）∵，，∴，则，∴.
2. (广东文.16)已知向量与互相垂直，其中
（1）求和的值
（2）若，,求的值
【解析】（1）,,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2)∵
, ,即
又 , ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3.(湖北理科17.) 已知向量
（Ⅰ）求向量的长度的最大值；
（Ⅱ）设，且，求的值。
【解析】（1）解法1：则
，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时，有所以向量的长度的最大值为2.
解法2：，，
当时，有，即，
的长度的最大值为2.
（2）解法1：由已知可得
。
，，即。
由，得，即。
,于是。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解法2：若，则，又由，得
，，即
，平方后化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得或，经检验，即为所求
4. (湖南理.16)在中，已知，求角A，B，C的大小.
【解析】设.
由得，所以.
又因此 .
由得，于是.
所以，，因此
，既.
由知，所以，从而
或，既或故
或。
5. (湖南文16.)已知向量
（Ⅰ）若，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）若求的值。
【解析】（Ⅰ）因为，所以
于是，故
（Ⅱ）由知，
所以
从而，即，
于是.又由知，，
所以，或.
因此，或
6. (江苏文理.15)设向量学科（1）若与垂直，求的值；学科网
（2）求的最大值;学科网
（3）若，求证：∥..网
【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。
7.(浙江理.18)在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
【解析】（I）因为，，又由，得，
（II）对于，又，或，由余弦定理得，
20090423
8.(浙江文.18)在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
【解析】（Ⅰ）
又，，而，所以，所以的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以
所以
由b=c可以得出a点积b=a点积c，但是由b=c不能证明a点积b=a点积c。所以a点积b=a点积c是b=c的
答：1.已知|a|=3,b=(1,2),且a//b,求a的坐标.2.与向量A(12,5)平行的单位向量为___。3.已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.4.已知向量A=(1,1),向量B=(1,-1)。将下列向量表示成xA+yB 的形式(x,y属于R)1)P=(2,3);2)Q=(-3,2)5.已知→OA=(k,12),→OB=(4,5),...
答：ab=|a||b|cos135°=2×1×cos135°=2×1×（-根号2/2）=-根号2 a²=|a|²=2²=4 b²=|b|²=1²=1 所以 |3a-3b|²=9a²-18ab+9b²=9×4+18根号2+9=45+18根号2 即2向量c+向量d的模长为45+18根号2 有什么不明白的...
答：bc=|b|*|c|*cos45=1*√2*√2/2=1,ca=|c|*|a|*cos45=√2*1*√2/2=1.(|a-b+c|的模)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca =1+1+2-0-2*1+2*1 =4,则|a-b+c|的模=2.2.一、原式=(a+b)-(c+d)-e=向量AC-向量CE-e,前面是对的,后面错了,(向量是有方向性的)...
答：由O是△外接圆圆心，所以AO在AB，AC上面的投影是他们的一半（1/2）向量AO*向量AC=|AO||AC|cosα=1/2×3×3=9/2 ① 向量AO*向量AB=|AO||AB|cosβ=1/2AB² ② 由向量AM=1/2（向量AB+向量AC）向量AO*向量AM =向量AO*1/2（向量AB+向量AC）=1/2（向量AO*向量AB+向量AO...
答：证明：设圆O半径为R.令 向量OA =x,向量OB =y,则 向量OC = -x,且 |x| =|y| =R.所以 AB *BC =(OB -OA) *(OC -OB)=(y -x) *(-x -y)=x^2 -y^2 =R^2 -R^2 =0.所以 AB⊥BC.即 ∠ABC =90 °.= = = = = = = = = ...
答：这样的量叫向量，即有方向又有长度。题目要求的即是两个向量相加，相加用三角形法则，即以AB,AC为邻边构造三角形，则另一边AC就是所求的向量和，方向由一个向量的起始端指向另一个向量的终止端，明白了吗？此题所求合位移为根号下(6^2+8^2)=10,记住位移是向量，有大小和方向 ...
答：向量主要有两种表示方法,即可以用带方向的线段表示,如AB,又可以用坐标表示,如(x,y),也常用一个小写字母表示,如a=(x,y),写成向量a(x,y)是错的,只有点的坐标才是这样写~~向量加减法,用到的主要是三角形法则(跟平行四边形法则差不多)AB+BC=AC---(加号两边的字母必须相同)AB-AC=AB+CA=CA...
答：所以向量AD=(4,4,3)-(0,0,2)=(4,4,1)所以BC边的中线AD的长度=|AD|=sqrt(16+16+1)=sqrt(33)--- 也可：AB=(8,0,0)-(0,0,2)=(8,0,-2)，AC=(0,8,6)-(0,0,2)=(0,8,4)而根据向量的平行四边形法则，BC边的中线AD=(AB+AC)/2=((8,0,-2)+(0,8,4))/2 =...
答：1.推动一个废弃的集装箱至少需要3000N的力，用大小分别为2000N和1500N的力作用在这个集装箱上，则当两个力的夹角∈？时才能推动它？解析：由余弦定理 Cosθ=(2^2+1.5^2-3^2)/(2*2*1.5)=-11/24 当二个力夹角小于等于π-arccos(-11/24)时，才能推动它 2.若|向量OP|=5，|向量OQ|...
答：，｜b｜=1，｜c｜=3，则｜a+b+c｜的值为多少？2 已知向量a=（cosθ，sinθ）向量b=（根号3,1），求｜2a--b｜的最大值。3 已知i，j是互相垂直的单位向量，向量a=i-2j，向量b=i+yj且向量a与b夹角为锐角。求实数y的取值范围。这几题也是重点题型啦 帮到你就给个好评吧 ...
