(a+b+c)^3 (a+b+c)^4 这些类似的怎么算，有什么规律？
我觉得，有些展开式虽然麻烦，但也是需要熟悉的。比如
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca
(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3a^2(b+c)+3b^2(a+c)+3c^2(a+b)+6abc
(a+b+c)^6 = (a+b+c)^3(a+b+c)^3
通过对 (a+b+c)^3 展开式的观察，可以预见
1) 6abc * 6abc = 36*（abc)^2
2) 3a^2b * 3c^2b = 9*(abc)^2
3) 3a^2c * 3b^2c = 9*(abc)^2
4) 3b^2a * 3c^2a = 9*(abc)^2
余此类推，最终共有6个 9*(abc)^2
因此 abc)^2 的系数是 36 + 6*9 = 90
================================================
(a^2+ab+b^2/4)^4
= (a+ b/2)^8
首先楼主应该掌握 (x+y)^n 的展开式。也就是说，你在做这个题目之前，你已经知道了 (x+y)^n 如何展开。
(x+y)^n = C(n,0)*x^n + C(n,1)*x^(n-1)*y + C(n,2)*x^(n-2)*y^2 + …… + C(n,k)*x^(n-k)*y^k + …… + C(n,n)*y^n
其中系数的通项 C(n,k) = n!/[(n-k)!*k!]
符号 ! 代表 “阶乘”运算。
例如 C(7,3) = 7!/(4!*3!) = (7*6*5*4*3*2*1)/[(4*3*2*1)*(3*2*1)] = 7*6*5/(3*2*1)
有了以上的知识基础，那么对于 (a+b/2)^8 的展开式，可以知道 含a^5项为：
C(8,3)*a^5*(b/2)^3
其系数为
C(8,3)/2^3 = [8*7*6/(3*2*1)]/8 = 7
解：∵(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c`2=2
∴ab+bc+ac=-1/2 ...A
∵a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-A)
∴abc=1/6 ...B
又a*2b^2+a*2c^2+b*2c^2=A^2-2(abca+abcb+abcc)=A^2-2abc(a+b+c)=-1/12 ...C
∴a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2C=25/6
也可以这样想：
设S=a^4+b^4+c^4
则(a+b+c)^=(a^+b^+c^)+2(ab+bc+ca)
即1=2+2(ab+bc+ca)
∴(ab+bc+ca)=-1/2
∵(a+b+c)(a^+b^+c^)=(a^3+b^3+c^3)+(ab^+ba^)+(bc^+cb^)+(ca^+ac^)
得2=3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)=3+ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)
所以-1=(ab+bc+ca)-3abc--->abc=1/6
又∵(a^+b^+c^)^=S+2[(ab)^+(bc)^+(ca)^]
=S+2[(ab+bc+ca)^-2(ab)(bc)-2(bc)(ca)-2(ca)(ab)]
=S+2[(ab+bc+ca)^-2abc(b+c+a)]
∴4=S+2[1/4-1/3]=S-1/6
∴S=a^4+b^4+c^4=25/6
不知道楼主看明白了吗？？
但是我也承认，推导起来很麻烦，一般不会去用。
要想推导这个公式，先要知道(a+b)^n【二项n次方】 打开括号后的各个项的系数的规律
说到(a+b)^n【二项n次方】 打开括号后的各个项的系数的规律，就一定会说到
杨辉三角：http://baike.baidu.com/view/7804.html?wtp=tt
看了链接，应该知道了杨辉三角的规律，
我再说明一下，杨辉三角的第n行表示的是a+b的n-1次方的系数
第1行：1 【a+b的0次方=1】
第2行： 1，1 【a+b的1次方=1×a+1×b】
第3行： 1，2，1 【a+b的2次方=1×a²+2×ab+1×b²】
第4行： 1，3，3，1 【a+b的3次方=1×a³+3×a²b+3×ab²+1×b³】
…………以此类推
(a+b)^4=a^4+4a³b+6a²b²+4ab³+b^4
Ok，现在开始推导
(a+b+c)³
=[(a+b)+c]³【尽管它是3项的，但可以把a+b看做一项】
=(a+b)³+3(a+b)²c+3(a+b)c²+c³
=a³+3a²b+3ab²+b³+3c(a²+2ab+b²)+3ac²+3bc²+c³
=a³+3a²b+3ab²+b³+3ca²+6abc+3cb²+3ac²+3bc²+c³
=(a³+b³+c³)+(3a²b+3b²a+3a²c+3c²a+3b²c+3c²b)+6abc
(a+b+c)^4
=[(a+b)+c]^4
=(a+b)^4+4(a+b)³c+6(a+b)²c²+4(a+b)c³+c^4
=a^4+4a³b+6a²b²+4ab³+b^4+4c(a³+3a²b+3ab²+b³)+6c²(a²+2ab+b²)+4ac³+4bc³+c^4
=a^4+4a³b+6a²b²+4ab³+b^4+4ca³+12a²bc+12ab²c+4b³c+6c²a²+12abc²+6b²c²+4ac³+4bc³+c^4
=(a^4+b^4+c^4)+(4a³b+4ab³+4a³c+4ac³+4b³c+4bc³)+(6a²b²+6a²c²+6b²c²)+(12a²bc+12b²ac+12c²ab)
说了这么多，不知道你看懂了没有啊，不懂的话Hi上问我
【打字很辛苦，楼主能不能加点悬赏呢？谢谢了】
楼上说的不对，其实这是有规律，可以用公式推导出来的。
但是我也承认，推导起来很麻烦，一般不会去用。
要想推导这个公式，先要知道(a+b)^n【二项n次方】 打开括号后的各个项的系数的规律
说到(a+b)^n【二项n次方】 打开括号后的各个项的系数的规律，就一定会说到
杨辉三角：http://baike.baidu.com/view/7804.html?wtp=tt
看了链接，应该知道了杨辉三角的规律，
我再说明一下，杨辉三角的第n行表示的是a+b的n-1次方的系数
第1行：1 【a+b的0次方=1】
第2行： 1，1 【a+b的1次方=1×a+1×b】
第3行： 1，2，1 【a+b的2次方=1×a2+2×ab+1×b2】
第4行： 1，3，3，1 【a+b的3次方=1×a3+3×a2b+3×ab2+1×b3】
…………以此类推
(a+b)^4=a^4+4a3b+6a2b2+4ab3+b^4
Ok，现在开始推导
(a+b+c)3
=[(a+b)+c]3【尽管它是3项的，但可以把a+b看做一项】
=(a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3
=a3+3a2b+3ab2+b3+3c(a2+2ab+b2)+3ac2+3bc2+c3
=a3+3a2b+3ab2+b3+3ca2+6abc+3cb2+3ac2+3bc2+c3
=(a3+b3+c3)+(3a2b+3b2a+3a2c+3c2a+3b2c+3c2b)+6abc
(a+b+c)^4
=[(a+b)+c]^4
=(a+b)^4+4(a+b)3c+6(a+b)2c2+4(a+b)c3+c^4
=a^4+4a3b+6a2b2+4ab3+b^4+4c(a3+3a2b+3ab2+b3)+6c2(a2+2ab+b2)+4ac3+4bc3+c^4
=a^4+4a3b+6a2b2+4ab3+b^4+4ca3+12a2bc+12ab2c+4b3c+6c2a2+12abc2+6b2c2+4ac3+4bc3+c^4
=(a^4+b^4+c^4)+(4a3b+4ab3+4a3c+4ac3+4b3c+4bc3)+(6a2b2+6a2c2+6b2c2)+(12a2bc+12b2ac+12c2ab)
说了这么多，不知道你看懂了没有啊，不懂的话Hi上问我
【打字很辛苦，楼主能不能加点悬赏呢？谢谢了】
没有规律，只能死算。
