量纲的量纲分析

各种物理量之间存在着关系，说明它们的结构必然由若干统一的基础成分所组成，并按各成分的多寡形成量与量间的千差万别，正如世间万物仅由百余种化学元素所构成。物理量的这种基本构成成分统称为量纲。由于物理学研究物质在时空中的演化和运动，所以一切定量问题最终离不开质量、时间和长度这三种基本量。因而最适宜于选取M、T、L做为这三种基本量的量纲。一切其他导出量的量纲可按定义或客观规律表成这三种基本量的量纲组合。基本量有多种取法，在力学中通常取质量、长度和时间为基本量，其他量（例如速度、力等）可按一定规则由基本量导出。任何其他三类量纲互相独立的导出量也可作为基本量。性质上完全不同的两物理量可具有相同的量纲，例如功和力矩就是如此。任何正确反映物理现象规律的方程，其两端各项都必须具有相同的量纲。物理量的大小，除按个数计的外，通常由一个或几个实数连同所采用的单位表示。这种数一般称为“名数”，意为不标明单位名称就没有意义的数。名数的实数值可以随不同的对象处于不同的时间或空间而不同。这是由于对象不同或本身发生变动而引起的实质变化。但名数值还会随所采用的单位大小而改变，而且是单位大小的连续函数。因为单位的大小可以任选，所以名数值的上述改变不是客观的实质变化。实质变化的规律是学科本身的研究对象。研究得出的各种各样的物理定律被表成数学方程的形式，控制着有关量本身的消长。非实质变化则不牵涉实质客观过程，只反映单位的主观选择。客观规律当然不涉及依赖于主观，这就要求数值的非实质变化必须保证事物客观大小的绝对性。具体说，任何两个一定大小的同类量，不论测量的单位如何，它们的相对大小永远不变，即它们的比值对任何单位都必须是个定值。同类量相对大小对于单位的不变性是度量的根本原则。违反这一原则，量度将没有任何意义。根据这个原则，可以导出以下的重要结论：在确定的单位制中，所有物理量的量纲都具有基本量量纲的幂次积形式（证明从略），即它们的形式可写成αaβbγc，其中α、β、γ为基本量的量纲；幂次a、b、c为常数，但不一定是整数。常用力学量的MLT量纲式见下表。角度的量纲式指数全为零，所以属于无量纲数，它是单位尺度变换下的不变量。 常见力学量的量纲式 力学量 定义 量纲式 质量 基本量 M 长度 基本量 L 时间 基本量 T 速度 长度/时间 LT-1 加速度 长度/时间 LT-2 力 质量×加速度 MLT-2 动量 质量×速度 MLT-1 能量、功 力×长度 ML2T-2 力矩 力×长度 ML2T-2 角度 弧长/半径 1（M0L0T0） 角速度 角度/时间 T-1 角加速度 角速度/时间 T-2 转动惯量 质量×半径平方 ML2 密度 质量/体积 ML-1 压力 力/面积 ML-1T-2 作用量 能量×时间 ML2T-1 粘性系数 单位速度梯度下单位面积上的力 ML-1T-1

量纲可以用来检测公式的正确与否，这是一个最最简单的问题，
比如由速度公式v=s/t可知：s的单位若用米，t的单位若用秒，则速度的单位是米/秒，
如果一个公式的等式右边是米/秒，等式左边不是米/秒，这个公式就是错误的，这就是用量纲来初步判定公式的正确与否，就这么简单。

量纲分析（dimensional analysis）是对物理现象或问题所涉及的物理量的属性进行分析，从而建立因果关系的方法。
量纲分析是自然科学中一种重要的研究方法，它根据一切量所必须具有的形式来分析判断事物间数量关系所遵循的一般规律。通过量纲分析可以检查反映物理现象规律的方程在计量方面是否正确，甚至可提供寻找物理现象某些规律的线索。
客观规律要求数值的非实质变化必须保证事物客观大小的绝对性。具体说，任何两个一定大小的同类量，不论测量的单位如何，它们的相对大小永远不变，即它们的比值对任何单位都必须是个定值。同类量相对大小对于单位的不变性是度量的根本原则。违反这一原则，量度将没有任何意义。根据这个原则，可以导出以下的重要结论：在确定的单位制中，所有物理量的量纲都具有基本量量纲的幂次积形式（证明从略）。
实际现象总是同时参有许多物理量。它们间通过理论与实验建立起一定的依存关系，构成某一客观规律的数学算式。显然，这种数量关系必须有具体内容，列成算式时要首先考虑运算的含义。物理中只有同类量或它们的同样组合才能进行加减。另外，在建立算式时要采用统一单位制的观点，否则将无法按名数的大小来进行比较。当然，单位总可以通过换算给予统一，因而不构成任何限制。其次，所建立反映客观实际规律的关系式，必须在单位尺度的主观任意变换下不受破坏。关系式的这一性质称为“完整性”。
表现数量关系的最一般形式是多项式。保证多项式的完整性有两种办法：一是要求出现在算式中的一切参量都是无量纲纯数，二是要求式中所有各项具有完全相同的量纲，也就是每一项的每一基本量纲都有相同的幂次，即所谓量纲的齐次性。算式中各项都是有关名数的幂次积，它们可分为量数和量纲两部分。既然量纲齐次，等式两边的量纲因子就可以相消，只剩下纯粹由量数构成的关系方程，也就是无量纲化了。总之，量纲齐次是构成完整性的充分和必要条件。
应该指出，任何两个量纲齐次的算式，假如硬性相加成为新的多项式，它虽然仍具有完整性，但可能变为非量纲齐次。这是因为两个算式分别表示不同类量间的关系。任何算式应用于具体实例都是如此，所以无需看作是量纲齐次的破坏。
所谓量纲独立指其中任何一个量的量纲式不能由其余量的量纲式的幂次积所组成。例如MLT体系中长度[L]、速度[LT－1]和能量[ML2T－2]三者是独立的，而长度[L]、速度[LT－1]和加速度[LT－2]三者间则非独立的。三个基本量的体系一般也只具有不多于三个的量纲独立量 。
历史上最早把物理量的属性看作物理量量纲的是J.傅里叶。他把dimension一词的概念，从几何学中的长度、面积和体积的范畴，推广到物理学中的长度、时间、质量、力、能、热等物理量的范畴，这一词不再限于长、宽、高等几何空间的属性，而泛指物理现象中物理量的属性，称之为量纲。他说换了单位不仅某量的大小变了，与该量有关的量的大小也跟着变。 　　在同一个时期，O.雷诺和瑞利应用量纲的概念屡屡取得成功。雷诺首先用于检验方程各项的齐次性。瑞利则用于克服求解问题中遇到的数学困难。后来，E.白金汉提出：每一个物理定律都可以用几个零量纲幂次的量（称之为Π）来表述。P.布里奇曼将白金汉的提法称之为Π定理。实际上，傅里叶早已指明这种提法的实质，只可惜在他那个年代并没有引起大家的重视 。
量纲分析又叫因次分析，是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。量纲分析就是在量纲法则的原则下，分析和探求物理量之间关系。
量纲分析的基础是量纲法则。而在深层次运用中，会运用到Π定理，以至于有时把量纲分析直接看作“运用Π定理进行无量纲化的过程”。