求解高数极限问题limx→0[(1+x)^(1/x)-e]/x
在x→0的时候
ln(1+x)
x
所以原式的极限为xln(1+e^(1/x))
令t
=
1/x得
t→无穷大
ln(1+e^t)
/
t
洛必达法则
=e^t
/
(1+e^t)
=1/(1+e^(-t))
=1
所以原式的极限是1
具体回答如下：
分子 lim[x→0] (1+x)^(1/x)-e=lim[x→0] (1+x)^(1/x) -e=e-e=0
分母 lim[x→0] x=0
所以题目属于0/0形式，适合用洛必达法则:
首先求(1+x)^(1/x)的导数
设y=(1+x)^(1/x)
lny=ln(1+x)/x,两边对x求导
1/y·y'=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x²
1/y·y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²(1+x)
y'=[x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
lim[x→0] [(1+x)^(1/x)-e]/x，上下分别求导，分母x的导数是1，e的导数是0，所以剩余的就是(1+x)^(1/x)的导数
=lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]·(1+x)^(1/x)
=lim[x→0] (1+x)^(1/x)·lim[x→0] [x-(1+x)ln(1+x)]/[x²(1+x)]
=e·lim[x→0] {1-[ln(1+x)+(1+x)·1/(1+x)]}/[(1+x)·2x+x²]，再上下求导
=e·lim[x→0] [1-ln(1+x)-1]/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] ln(1+x)/(2x+3x²)
=e·-lim[x→0] 1/(1+x)/(2+6x)，再上下求导
=e·-lim[x→0] 1/[(1+x)(2+6x)]，此时不为0/0形式，可以代入数值
=e·-1/[(1+0)(2+0)]
=e·-1/2
=-e/2
极限函数的意义：
在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。
换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
答案为-e/2。
解题过程如下：
原极限=lim(x→0) [(1+x)^1/x-e]/x
=lim(x→0) e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x （把分子前面一项表示成指数形式,并分子提取公因式e）
=lim(x→0) e*[ln(x+1)-x]/x^2 （x→0时,有e^x-1~x）
=-e/2
扩展资料
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
原式=
简单计算一下即可，答案如图所示
原极限=lim(x→0) [(1+x)^1/x-e]/x
=lim(x→0) e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x （把分子前面一项表示成指数形式,并分子提取公因式e）
=lim(x→0) e*[ln(x+1)-x]/x^2 （x→0时,有e^x-1~x）
=-e/2
答：以上，请采纳。
答：lim[x→0] (tanx-sinx)/x³=lim[x→0] (sinx/cosx-sinx)/x³=lim[x→0] (sinx-sinxcosx)/(x³cosx)=lim[x→0] sinx(1-cosx)/(x³cosx)=lim[x→0] sin³x(1-cosx)/(x³sin²xcosx)=lim[x→0] (sinx/x)³·(1-cosx)/(sin&...
答：啊
答：同济四版高数:1.利用极限存在准则证明limx→0(1+x)∧n=12.limx→0sinx-tanx/[(1+x∧2)∧3-1][(1+sinx)∧1/2-1]求极限。 展开 我来答 1个回答 #热议# 说说这一年,有哪些人让你心生感恩?大白沙贪 2014-10-09 · TA获得超过114个赞 知道小有建树答主 回答量:351 采纳率:0% ...
答：而lim(x→0)(1/x^2)ln(sinx/x)]属“0/0”型，用洛必达法则，有 lim(x→0)(1/x^2)ln(sinx/x)]=(1/2)lim(x→0)(1/sinx)(sinx/x)'=lim(x→0)(-1/2)/(2+xcosx/sinx)=(-1/2)/(2+1)=-1/6。∴原式=e^[lim(x→0)(1/x^2)ln(sinx/x)]=e^(-1/6)。供...
答：用洛必达法则，求出来是正无穷，对吗。
答：= lim<x→0+> (1- cosx) / (x²/2)(1+√cosx) ...展开全文你好！∵x→0时，1-cosx~ x²/2 ∴1-cos√x ~ x/2 lim<x→0+> [1- √(cosx) ] / [x(1- cos√x )]= lim<x→0+> [1- √(cosx)] / (x²/2)= lim<x→0+> [1-√(cosx)][1+...
答：没有极限的，一个有界，一个无界前一个是无穷大，所以没有极限
答：利用罗比达法则可得 lim(x→0)(1-e^x-x)/[(2+x)sinx]=lim(x→0)(1-e^x-x)'/[(2+x)sinx]'=lim(x→0)(-e^x-1)/[(2+x)cosx+sinx]=-1
答：Log[x]为x的自然对数
