高等数学 求极限
答案是1，过程如下
求极限的各种方法
1
．约去零因子求极限
例
1
：求极限
1
1
lim
4
1
x
x
x
【说明】
1
x
表明
1
与
x
无限接近，但
1
x
，所以
1
x
这一零因子可以约去。
【解】
6
)
1
)(
1
(
lim
1
)
1
)(
1
)(
1
(
lim
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
=4
2
．分子分母同除求极限
例
2
：求极限
1
3
lim
3
2
3
x
x
x
x
【说明】
型且分子分母都以多项式给出的极限
,
可通过分子分母同除来求。
【解】
3
1
3
1
lim
1
3
lim
3
1
1
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
【注】
(1)
一般分子分母同除
x
的最高次方；
(2)
n
m
b
a
n
m
n
m
b
x
b
x
b
a
x
a
x
a
n
n
m
m
m
m
n
n
n
n
x
0
lim
0
1
1
0
1
1
3
．分子
(
母
)
有理化求极限
例
3
：求极限
)
1
3
(
lim
2
2
x
x
x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】
1
3
)
1
3
)(
1
3
(
lim
)
1
3
(
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
1
3
2
lim
2
2
x
x
x
例
4
：求极限
3
0
sin
1
tan
1
lim
x
x
x
x
【解】
)
sin
1
tan
1
(
sin
tan
lim
sin
1
tan
1
lim
3
0
3
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
1
sin
tan
lim
2
1
sin
tan
lim
sin
1
tan
1
1
lim
3
0
3
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
【注】
本题除了使用分子有理化方法外，
及时
分离极限式中的非零因子
．．．．．．．．．．．
是解
题的关键
4
．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是
1
sin
lim
0
x
x
x
和
e
x
n
x
x
x
n
n
x
x
1
0
)
1
(
lim
)
1
1
(
lim
)
1
1
(
lim
，第
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
例
5
：求极限
x
x
x
x
1
1
lim
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：
先凑出1，再凑
X
1
，最后凑指
数部分。
【解】
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
lim
1
2
1
lim
1
1
lim
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
例
6
：
(1)
x
x
x
2
1
1
lim
；
(2)
已知
8
2
lim
x
x
a
x
a
x
，求
a
。
5
．用等价无穷小量代换求极限
【说明】
(1)
常见等价无穷小有：
当
0
x
时
,
~
)
1
ln(
~
arctan
~
arcsin
~
tan
~
sin
~
x
x
x
x
x
x
1
e
x
,
abx
ax
x
x
b
~
1
1
,
2
1
~
cos
1
2
；
(2)
等价无穷小量代换
,
只能代换极限式中的
因式
．．
；
(3)
此方法在各种求极限的方法中
应作为首选
．．．．．
。
例
7
：求极限
0
ln(1
)
lim
1
cos
x
x
x
x
【
解
】
0
0
2
ln(1
)
lim
lim
2
1
1
cos
2
x
x
x
x
x
x
x
x
.
例
8
：求极限
x
x
x
x
3
0
tan
sin
lim
【
解
】
x
x
x
x
3
0
tan
sin
lim
6
1
3
lim
3
1
cos
lim
sin
lim
2
2
2
1
0
2
0
3
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6
．用罗必塔法则求极限
例
9
：求极限
2
2
0
)
sin
1
ln(
2
cos
ln
lim
x
x
x
x
【说明】
或
0
0
型的极限
,
可通过罗必塔法则来求。
【
解
】
2
2
0
)
sin
1
ln(
2
cos
ln
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
sin
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
lim
2
0
3
sin
1
1
2
cos
2
2
2
sin
lim
2
0
x
x
x
x
x
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例
10
：
设函数
f(x)
连续，且
0
)
0
(
f
，求极限
.
)
(
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
x
x
dt
t
x
f
x
dt
t
f
t
x
【
解
】
由于
0
0
0
)
(
)
)(
(
)
(
x
x
x
u
t
x
du
u
f
du
u
f
dt
t
x
f
,
于是
x
x
x
x
x
x
x
du
u
f
x
dt
t
tf
dt
t
f
x
dt
t
x
f
x
dt
t
f
t
x
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
)
(
lim
=
x
x
x
x
xf
du
u
f
x
xf
x
xf
dt
t
f
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
=
x
x
x
x
xf
du
u
f
dt
t
f
0
0
0
)
(
)
(
)
(
lim
=
)
(
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
du
u
f
x
dt
t
f
x
x
x
=
.
2
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
f
f
f
7
．用对数恒等式求
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
极限
例
11
：
极限
x
x
x
2
0
)]
1
ln(
1
[
lim
【
解
】
x
x
x
2
0
)]
1
ln(
1
[
lim
=
)]
1
ln(
1
ln[
2
0
lim
x
x
x
e
=
.
2
)
1
ln(
2
lim
)]
1
ln(
1
ln[
2
lim
0
0
e
e
e
x
x
x
x
x
x
【
注
】对于
1
型未定式
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
的极限，也可用公式
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
)
1
(
=
)
这道题的解法不需要运用洛必达法则，用几个等价无穷小量的代换足矣！不仅方便，避免繁琐计算。关键在于2次运用该等价无穷小：根号（1+x)-1~(x/2)
详细解法如下，点击放大图：
打数学符号太麻烦了，我简单说下思路吧。分子分母都需要有理化！有理化后约分的式子为(tanX-sinX)/Xsin2X.注意这个2是平方，不是2倍的意思哦。然后sin2X可以用等价无穷小，即X的平方代替！最后分子分母运用洛比达法则三次，得出结果！
洛比达定理，上下都求导，一直求到分子分母极限都不为0为止。然后利用x趋于0求极限
如图
解：∵ [√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x√(1+sin²x)-x]
=[(tanx-sinx)/(xsinx)]*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]} (分子分母都有理化,并化简整理)
=[(1-cosx)/(xsinxcosx)]*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
={4sin²(x/2)/[xsin(2x)]}*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=(1/2)*[(2x)/sin(2x)]*[sin(x/2)/(x/2)]²*{[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
又lim(x->0)[(2x)/sin(2x)]=1 (应用重要极限lim(x->0)(sinx/x)=1)
lim(x->0)[sin(x/2)/(x/2)]²=1 (应用重要极限lim(x->0)(sinx/x)=1)
lim(x->0){[√(1+sin²x)+1]/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}=(1+1)/(1+1)=1
∴原式=(1/2)*1*1*1=1/2.
