抛物线的性质
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
定义
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
标准方程标准方程 右开口抛物线：y^2=2px
左开口抛物线:y^2= -2px
上开口抛物线：x^2=2py
下开口抛物线:x^2= -2py
[p为焦准距（p>0）]
特点
在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；
在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；
在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；
在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；
(对于向右开口的抛物线)
离心率：e=1
焦点:(p/2，0)
准线方程l:x=-p/2
顶点：(0，0)
通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦 定义域（X≥0）
值域（Y∈R)
解析式求法 以焦点在X轴上为例
知道P（x0，y0)
令所求为y^2=2px
则有y0^2=2px0
∴2p=y0^2/x0
∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x
光学性质 经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。
对于圆、抛物线、椭圆三种曲线，他们的光学性质有一定的规律性：圆将所有从圆心射出的光线反射回圆心，抛物线反射成平行线，而椭圆将从一个焦点发出的光反射到另一个焦点。
抛物线方程 焦点准线式（标准方程）
焦点：F(m,n)
准线：L：ax+by+c=0
方程为：[x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2]^1/2=[(ax+by+c)^2/(a^2+b^2)]^1/2
整理得 b^2x^2-2abxy+a^2y^2-2(ac+ma^2+mb^2)x-2(bc+na^2+nb^2)y+(m^2+n^2)(a^2+b^2)-c^2=0
面积 Area=2ab/3
弧长 Arc length ABC
=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)
其他 抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x-h）^2 + k
就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程：y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有
① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成立
② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]
③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）
⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）
⑥弦长公式：AB=√（1+k^2）*│x2-x1│
⑦△=b^2-4ac
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
⑶△=b^2-4ac<0没实数根
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。
⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：yy0=p(x+x0)
性质；
抛物线：y = ax *+ bx + c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
顶点式y = a（x+h）* + k
解释：y等于a乘以（x+h）的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
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它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。
（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。（为性质（1）第二部分的逆定理）从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
（3）设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。
（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。
（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。
（6）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B，则O是AB中点。
（7）若抛物线与一个三角形的三条边（所在直线）都相切，则准线通过该三角形的垂心。
有关弦的几何性质
（8）焦点弦两端的切线互相垂直，并且垂足在准线上。
（9）过焦点弦的端点A、B作准线的垂线，垂足分别为M、N。设A、B处的切线相交于P，则P是MN中点，并且以AB为直径的圆切准线于P。
（10）若抛物线的两条焦点弦相等，连接这两条焦点弦的中点，则连线与轴垂直。
（11）抛物线的一条弦AB与轴相交于P（不一定是焦点F），过A、B分别作轴的垂线AM、BN，抛物线顶点为O，则OP2=AM*BN。
证明
以上性质均可以用坐标法来证明，在此以
为例给出性质（1）、（4）、（9）的证明。
（1）焦点
，准线
，设
，则过P的切线方程为：
令
，得
，所以
于是
，
易证二者数量积为0，因此有PF⊥QF。
要证PQ平分∠APF，可通过全等三角形的判定方法HL证明Rt△APQ≌Rt△FPQ，得到对应角∠APQ=∠FPQ即可。HL是显然的，因为根据抛物线的定义，有PF=PA，而斜边PQ是公共边，因此两个三角形全等。
根据这个性质，我们还能得出一个推论：AF被PQ垂直平分，并且四边形PAQF内接于圆，PQ为直径。
（4）根据已知条件，A在x轴上，B在y轴上。
PA方程为：
，令x和y等于0，解得
容易验证B就是AP中点
而
，它们的数量积为0，因此BF⊥AP，即BF垂直平分AP。
要证PM与准线垂直，只要证M的纵坐标与P相同，都为y0即可。
容易写出直线BF：
，令
，解得
故
，命题得证。
（9）设
联立AB与抛物线方程，消去x得
由韦达定理，
又PA与PB都为切线，根据切线方程，
联立PA与PB的表达式可解得
而
，根据中点坐标公式和韦达定理可知P是MN中点。
设AB中点为E，则E的纵坐标
，与P的纵坐标相同，
因此PE∥x轴，PE⊥MN
而根据性质（8）可知PA⊥PB，即△PAB为直角三角形
所以E是△PAB的外心，所以PE是半径
根据切线的判定定理可知，MN是圆E的切线，切点为P。
切线的尺规作图
根据几何性质（2）可以得到过抛物线上一点或抛物线外一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
（1）P在抛物线上
①过P作准线的垂线，设A为垂足
②连接PF（F是焦点）
③作∠APF的平分线PQ
则根据性质（2），直线PQ为切线
（2）P在抛物线外
①连接PF
②以P为圆心，PF为半径画弧，弧与准线分别交于A、B
③过A、B分别作准线的垂线，垂线和抛物线分别交于M、N
④连接PM、PN，则PM、PN为所求切线（有两条）
这是因为，若连接MF，则在△PAM和△PFM中
∵PA=PF（圆的定义），PM=PM（公共边），MA=MF（抛物线的定义）
∴△PAM≌△PFM（SSS）
∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的对应角相等）
∴MP平分∠AMF（角平分线的定义）
抛物线性质：1.焦半径公式：(y2=2px(p>0))|MF|=2x0M(x0,y0)为抛物线上任意一点的坐标；2.|AB|=cos2θ(x2=2py(p>0))(通径是最短的焦点弦)。
抛物线性质
1抛物线性质
1、焦半径公式：(y2=2px(p>0))|MF|=2x0M(x0,y0)为抛物线上任意一点的坐标
2、通径|AB|=2p
3、焦点弦
（1）、|AB|=p+x1+x2
（2）、|AB|=2psin2θ2pP(y2=2px(p>0))
（3）、|AB|=cos2θ(x2=2py(p>0))(通径是最短的焦点弦)
（4）、焦点弦的端点坐标A（x1,y1），B（x2，y2）,则有x1x2=,y1y2=-p24p2
（5）、n=1+cosθ,m=1−cosθm+n=p
2抛物线
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
答：抛物线是一种特殊的几何图形，其特性主要体现在以下几个方面：首先，抛物线是由面内与定点F（焦点）和定直线l（准线）保持恒定距离的点的轨迹构成的。焦点F是抛物线的关键元素，而准线l则是定义其形状的关键直线。抛物线的性质还包括对称性，标准方程为y²=2px，其中p决定了抛物线的开口方向和大小...
答：2、标准方程吵行：对于一般的二次函数，我们可以将其化为y=ax²+bx+c的形式，其中a、b、c是常数，且a≠0。如果b²-4ac>0，那么这个函数就有两个实数根；如果b²-4ac=0，那么这个函数就有1个实数根；如果b²-4ac<0，那么这个函数就没有实数根。3、性质：抛物线的开口...
答：3、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。5、当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。抛物线的性质：1、准线、焦点：...
答：性质；抛物线：y = ax *+ bx + c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 顶点式y = a（x+h）* + k 解释：y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 16/...
答：定点F不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当0＜e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。二、抛物线的方程及图形 抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：
答：方程 (y = ax^2 + bx + c) 描述了一个二次函数，也叫抛物线。下面是该函数的图像与性质：1、图像特点：如果 (a > 0)，则抛物线开口朝上，凹向上方。如果 (a < 0)，则抛物线开口朝下，凹向下方。(b) 控制了抛物线在 (x) 方向上的平移，正值向左平移，负值向右平移。(c) 为纵轴截距...
答：面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点.定直线l 叫做抛物线的准线.新授内容 一,抛物线的范围: y2=2px y取全体实数 X Y X 0 二,抛物线的对称性 y2=2px 关于X轴对称 没有对称中心,因此,抛物线又叫做无心圆锥曲线. 而椭圆和双曲线又叫做有心...
答：∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x 光学性质经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。对于圆、抛物线、椭圆三种曲线，他们的光学性质有一定的规律性：圆将所有从圆心射出的光线反射回圆心，抛物线反射成...
答：相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。抛物线具有许多重要的应用，从抛物面天线或抛物线麦克风到汽车前照灯反射器到设计弹道导弹。它们经常用于物理，工程和许多其他领域。
答：抛物线性质：焦半径公式：y2=2pxp>0F=2x0Mx0，y0为抛物线上任意一点的坐标；AB=cos2x2=2pyp>0通径是最短的焦点弦。平面内，到定点与定直线余纯中的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，竖山定直线叫抛物线的准线。抛物线是指平面内到一个定点F和一条定直线1距离相等裤迹的点的...
