什么是勾股数？
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-07-06
勾股数是什么
在探究勾股定理之前，先让我们认识一下勾股定理吧！“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这就是勾股定理，西方人称它为毕达哥拉斯定理。
勾股定理是一条古老而又应用广泛的定理。据说四千多年前，中国的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差，以治理洪水的。古埃及人也是用勾股定理，以绳打结的方法来确定直角，并且用这个方法确定金字塔的正方形底。勾股定理在现代的应用更加广泛。木工用三四五放线法来确定直线或直角。勾股定理在科学、技术、工程上的应用多得不胜枚举。
现在我们要研究的是勾股数。究竟什么是勾股数呢？实际上很简单。在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2＝c2，满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。例如（3，4，5）；（5，12，13）；（6，8，10）；（7，24，25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2＝c2。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。
那么，一组勾股数中的3个正整数之间又有什么关系呢？我仔细地研究了一番，在仔细研究后发现，勾股数的规律是很好找的。
任取两个正整数m、n(m＞n),那么
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数。
例如：当m=4,n=3时，
a=42-32=7,b=2×3×4=24,c=42+32=25,则7、24、25便构成一组勾股数。
证明：
∵a2+b2=(m2-n2) 2+(2mn) 2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2) 2
∵c2=(m2+n2) 2
∴a2+b2= c2
∴a、b、c构成一组勾股数。
若勾股数中的某一个数已经确定，可用如下两种方法确定另外两个数。
首先观察已知数是奇数还是偶数。
（1）若是大于1的奇数，把它平方后拆成两个相邻的整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。
例如9是勾股数中的一个数，把9平方后拆成41、40两个相邻的整数，那么9、40、41便是一组勾股数。
（2）若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1。所得到的两个整数和这个偶数为一组勾股数。
例如8是勾股数中的一个数，把8除以2后，再平方，再加1得到17；8除以2后，再平方，再减1得到15，则8、15、17是一组勾股数。
以上的结论只是我观察各组勾股数得到的，究竟是否适用与所有勾股数还不好下定论，于是我就用代数证明法，进一步证明。
证明第（1）个猜想：设大于1的奇数为2n+1，那么把这个奇数平方后得到一个多项式4n2+4n+1,把这个多项式分成2n2+2n和2n2+2n+1，则2n2+2n和2n2+2n+1就是2n+1平方后拆成的两个相邻的整数。
∵(2n+1)2+(2n2+2n) 2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
=(2n2+2n+1) 2
∴2n2+2n、2n2+2n+1和2n+1构成一组勾股数。
证明第（2）个猜想：设大于2的偶数为2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别加1，减1，所得到的两个整数为n2-1和n2+1。
∵(2n) 2+(n2-1) 2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1) 2
∴2n、n2-1和n2+1构成一组勾股数。
我除了观察到勾股数的构成以外，我还发现一组整数勾股数中的3个整数相加总是偶数，这是为什么呢？我又想到了用代数证明法来证明。
设3个整数勾股数为a、b、c（c＞b＞a），则b2=c2-b2=(c+a)(c-a)。分类讨论a、b、c的奇、偶性。
① a、c都为奇数，则（c+a）为偶数，(c-a)为偶数，那么b2为偶数，b也是偶数。
∵奇数+奇数+偶数=偶数
∴a+b+c=偶数
② a、c都为偶数，则（c+a）为偶数，(c-a)为偶数，那么b2为偶数，b也是偶数。
∵偶数+偶数+偶数=偶数
∴a+b+c=偶数
③ c与a一偶一奇，则（c+a）为奇数，（c-a）为奇数，那么b2为奇数，b也是奇数。
∵偶数+奇数+奇数=偶数
∴a+b+c=偶数
综合以上结论，我们知道了一组整数勾股数的3个整数相加总是偶数。
“勾股定理”的内容是：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2＝c2。这里，整数a、b、c被称为勾股数。一般我们常使用的勾股数有3，4，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；7，24，25等。
在直角三角形中，勾股定理的作用其一就是已知两边，求第三边。如已知两条直角边，求斜边。即a2+b2＝c2 (c一般表示斜边)。若已知斜边和一条直角边，求另一条直角边，则可表示为a2＝c2-b2或b2＝c2 -a2。
我观察发现这些勾股数的特点，发现：它们中总有一个是3的倍数！这个发现让我好激动。我试着写了几组，果然这样。但是老师说这不能代表全部情况，必须想办法证明我的发现。在老师的帮助下，我采用了反证法来说明我的发现。
假设直角三角形三边长分别为a、b、c。c为斜边，a、b、c均为整数，且a、b、c均不能被3整除，由勾股定理得：
a2+b2＝c2,所以a2＝c2-b2 =(c+b)(c-b)
由于a、b、c都不能被3整除，所以a2一定不是3的倍数，我们对（c+b）(c-b)进行情况讨论：
（1） 若b、c除以3的余数都为1，设b=3m+1,c=3n+1,则c-b=(3n+1)-(3m+1)=3n-3m=3(n-m)一定能被3整除；
（2） 若b、c 除以3的余数都为2，设b=3m+2,c=3n+2,则c-b=(3n+2)-(3m+2)=3n-3m=3(n-m)也一定能被3整除；
（3） 若b、c除以3的余数一个为1，一个为2，设b=3m+1,c=3n+2,则c+b=(3n+2)+(3m+1)=3m+3n+3=3(m+n+1)仍能被3整除。所以，不论b，c为何数，（c+b）(c-b)一定是3的倍数，很显然，等式a2=（c+b）(c-b)的左右两边矛盾；所以假设不成立，所以a，b，c三个数中一定有一个数是3的倍数。
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.
解答：
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.
解答：
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.
解答：
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...
勾股数: 满足勾股定理的正整数既称为勾股数
勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。可是，我国周朝初年（约公元前1100年）的数学家商高早就讲到过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史书记载，早在公元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应用，在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明，三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。
赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）。
赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”开方除之是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即：a2+b2=c2。他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”
即2ab+（b-a）2=c2
化简便得出：a2+b2=c2
这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。
勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索过它的证明方法。据说，它的证明方法有500来种。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎（1633～1712年），他发明的一种证法极为简便，只需用一张硬纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者如有兴趣不妨试一试。在1940年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中，就专门搜集了367个不同的证法。其中有一个证法最令人感兴趣，它是由一位美国总统作出的！
根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道，1876年4月1日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了（据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。
加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC，设其边长分别为BA=c是斜边，AC=b，BC=a。作AE⊥BA，并使AE=BA，再延长CA到D，使AD=BC=a，连D、E，则四边形CBED梯形，
求证△DAE与△CBA是全等三角形，于是△DAE、△CBA与△ABE的面
由于三个三角形面积之和即是梯形的面积，因此可得出等式：
化简后即得等式：a2+b2=c2
这样勾股定理便得到证明。
人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边为下列各数的一些三角形：
120，119，169；
3456，3367，4825；
4800，4601，6649；
13500，12709，18541；
72，65，96；
360，319，481；
2700，2291，2541；
960，799，1249；
600，481，769；
6480，4961，8161；
60，45，75；
2400，1697，2929；
240，161，289；
2700，1771，3229；
90，56，106。
以上每个数组中的数，我们称为勾股数。
一般说来，如果正数x，y，z能满足下列不定方程
x2+y2=z2（1）
则这些整数叫做勾股数。
那么怎样求出勾股数呢？我们再观察几个简单的直角三角形的边：
3，4，5；5，12，13；
7，24，25；9，40，41；
11，60，61；13，84，85；
……
从这些数中，可发现以下规律：
第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第一个数的平方加1再除以2，即设m为奇数，则一般会有：
于是就有
其中m为奇数。
但这只是一部分勾股数的规律。
（2）式两边同乘以4，则变形得：
（2m）2+（m2-1）2=（m2+1）2 （3）
很显然（3）式不论m是奇数还是偶数，等式都能成立。
然而由（3）式仍不能得到全部的勾股数。
那么怎样才能得到全部的勾股数呢？在公式（3）中，m为任意自然数，1是一个特殊的自然数，若它也变成任意自然数，设它变成n，为了使（3）式保持恒等，（3）中的第一项（2m）2应变成（2mn）2，则有
（2mn）2+（m2-n2）2=（m2+n2）2（4）
其中m＞n，（m，n）=1且m除以n的余数不等于2。
那么，可以证明出式（4）包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究，人们不仅要问
xn+yn=xn（5）
其中n＞2，n是自然数。（5）式是否也有正整数解呢？这就是到现在还仍未解决的“费马猜想”。
勾股数有什么规律?比如3 .4.5
答：所谓勾股数，就是其中两个比较小的数的平方和等于第3个数比较大的那个数的平方。
勾股数是什么意思?
答：3 4 5 ）、（5 12 13 ）、（7 24 25）、（9 40 41 ）、（11 60 61 ）、（13 84 85 ）勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。勾股定理的日常...
勾股数的意思勾股数的意思是什么
答：勾股数的词语解释是：能分别是某个直角三角形三边之长的三个整数，称为“勾股数”。不定方程x_+y_＝z_的每一组正整数解都是勾股数。结构是：勾(半包围结构)股(左右结构)数(左右结构)。拼音是：gōugǔshù。注音是：ㄍㄡㄍㄨˇㄕㄨ_。勾股数的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您...
什么是勾股数?
答：在初二数学中，常用的勾股数主要是指满足勾股定理的整数（或有理数）组成的三元组，也就是满足a² + b² = c²的数对（a，b，c）。这些数对代表了直角三角形的三条边长。以下是一些常用的勾股数：1. (3, 4, 5)：这是最简单的勾股数，也是最常用的勾股数之一。它符合勾股...
1213和什么是勾股数
答：12、13和5是勾股数。所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)，即a²+b²=c²,a,b,c∈N。又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股...
勾股数有哪些 勾股数是什么
答：1、常用的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等等。2、勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数的依据是勾股定理。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。3、勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角...
基本勾股数有哪些,什么叫勾股数?勾股数有哪些?
答：1.常用的勾股数有： 5； 13； 2 25； 17； 40、41等等。2. 勾股数，又名为毕氏三元数 。3.勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。4.勾股数的依据是勾股定理。5.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。6. 勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度...
勾股数的定义是什么
答：勾股定理又称勾股弦定理、勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。它是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是数形结合的纽带之一。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为...
谁能简单通俗易懂的说明什么是勾股定理
答：一、勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方。其中，短直角边叫“勾”，长直角边叫“股”，斜边叫“弦”即：勾²+股² = 弦²二、勾股数：是满足勾股定理 a²+b² = c² 的 正整数，其中的 a、b、c称为勾股数。例如: 3²+4² = ...
勾股数是什么
勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。为数学名词。
基本简介
勾股数又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
常用套路
简介
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种:
第一套路
当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
第二套路
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如:
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
整勾股数
常见组合
3，4，5 : 勾三股四弦五
5，12，13 : 5·12记一生(13)
6，8，10: 连续的偶数
8，15，17 : 八月十五在一起(17)
特殊组合
连续的勾股数只有3，4，5
连续的偶数勾股数只有6，8，10
满足a²+b²＝c²，其中a，b和c被称为勾股数
勾股数指的是组成一个直角三角形的三条边长，三条边长都为正整数，例如直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，那么两条直角边a的平方+b的平方等于斜边c的平方，那么这一组数组就叫做勾股数。一般把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则为弦。
结合勾股数创造了勾股定理，是为了解不定方程的所有整数解而创造的定律。勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
扩展资料
勾股数的特点：
1、满足勾股数的直角三角形的两条直角边为一个奇数，一个偶数，同时斜边为奇数。
2、连续的勾股数只有3，4，5这三个正整数。
3、连续的偶数勾股数只有6，8，10这三个整数。
参考资料来源：百度百科-勾股数
在探究勾股定理之前，先让我们认识一下勾股定理吧！“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这就是勾股定理，西方人称它为毕达哥拉斯定理。
勾股定理是一条古老而又应用广泛的定理。据说四千多年前，中国的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差，以治理洪水的。古埃及人也是用勾股定理，以绳打结的方法来确定直角，并且用这个方法确定金字塔的正方形底。勾股定理在现代的应用更加广泛。木工用三四五放线法来确定直线或直角。勾股定理在科学、技术、工程上的应用多得不胜枚举。
现在我们要研究的是勾股数。究竟什么是勾股数呢？实际上很简单。在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2＝c2，满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。例如（3，4，5）；（5，12，13）；（6，8，10）；（7，24，25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2＝c2。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。
那么，一组勾股数中的3个正整数之间又有什么关系呢？我仔细地研究了一番，在仔细研究后发现，勾股数的规律是很好找的。
任取两个正整数m、n(m＞n),那么
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数。
例如：当m=4,n=3时，
a=42-32=7,b=2×3×4=24,c=42+32=25,则7、24、25便构成一组勾股数。
证明：
∵a2+b2=(m2-n2) 2+(2mn) 2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2) 2
∵c2=(m2+n2) 2
∴a2+b2= c2
∴a、b、c构成一组勾股数。
若勾股数中的某一个数已经确定，可用如下两种方法确定另外两个数。
首先观察已知数是奇数还是偶数。
（1）若是大于1的奇数，把它平方后拆成两个相邻的整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。
例如9是勾股数中的一个数，把9平方后拆成41、40两个相邻的整数，那么9、40、41便是一组勾股数。
（2）若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1。所得到的两个整数和这个偶数为一组勾股数。
例如8是勾股数中的一个数，把8除以2后，再平方，再加1得到17；8除以2后，再平方，再减1得到15，则8、15、17是一组勾股数。
以上的结论只是我观察各组勾股数得到的，究竟是否适用与所有勾股数还不好下定论，于是我就用代数证明法，进一步证明。
证明第（1）个猜想：设大于1的奇数为2n+1，那么把这个奇数平方后得到一个多项式4n2+4n+1,把这个多项式分成2n2+2n和2n2+2n+1，则2n2+2n和2n2+2n+1就是2n+1平方后拆成的两个相邻的整数。
∵(2n+1)2+(2n2+2n) 2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
=(2n2+2n+1) 2
∴2n2+2n、2n2+2n+1和2n+1构成一组勾股数。
证明第（2）个猜想：设大于2的偶数为2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别加1，减1，所得到的两个整数为n2-1和n2+1。
∵(2n) 2+(n2-1) 2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1) 2
∴2n、n2-1和n2+1构成一组勾股数。
我除了观察到勾股数的构成以外，我还发现一组整数勾股数中的3个整数相加总是偶数，这是为什么呢？我又想到了用代数证明法来证明。
设3个整数勾股数为a、b、c（c＞b＞a），则b2=c2-b2=(c+a)(c-a)。分类讨论a、b、c的奇、偶性。
① a、c都为奇数，则（c+a）为偶数，(c-a)为偶数，那么b2为偶数，b也是偶数。
∵奇数+奇数+偶数=偶数
∴a+b+c=偶数
② a、c都为偶数，则（c+a）为偶数，(c-a)为偶数，那么b2为偶数，b也是偶数。
∵偶数+偶数+偶数=偶数
∴a+b+c=偶数
③ c与a一偶一奇，则（c+a）为奇数，（c-a）为奇数，那么b2为奇数，b也是奇数。
∵偶数+奇数+奇数=偶数
∴a+b+c=偶数
综合以上结论，我们知道了一组整数勾股数的3个整数相加总是偶数。
“勾股定理”的内容是：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2＝c2。这里，整数a、b、c被称为勾股数。一般我们常使用的勾股数有3，4，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；7，24，25等。
在直角三角形中，勾股定理的作用其一就是已知两边，求第三边。如已知两条直角边，求斜边。即a2+b2＝c2 (c一般表示斜边)。若已知斜边和一条直角边，求另一条直角边，则可表示为a2＝c2-b2或b2＝c2 -a2。
我观察发现这些勾股数的特点，发现：它们中总有一个是3的倍数！这个发现让我好激动。我试着写了几组，果然这样。但是老师说这不能代表全部情况，必须想办法证明我的发现。在老师的帮助下，我采用了反证法来说明我的发现。
假设直角三角形三边长分别为a、b、c。c为斜边，a、b、c均为整数，且a、b、c均不能被3整除，由勾股定理得：
a2+b2＝c2,所以a2＝c2-b2 =(c+b)(c-b)
由于a、b、c都不能被3整除，所以a2一定不是3的倍数，我们对（c+b）(c-b)进行情况讨论：
（1） 若b、c除以3的余数都为1，设b=3m+1,c=3n+1,则c-b=(3n+1)-(3m+1)=3n-3m=3(n-m)一定能被3整除；
（2） 若b、c 除以3的余数都为2，设b=3m+2,c=3n+2,则c-b=(3n+2)-(3m+2)=3n-3m=3(n-m)也一定能被3整除；
（3） 若b、c除以3的余数一个为1，一个为2，设b=3m+1,c=3n+2,则c+b=(3n+2)+(3m+1)=3m+3n+3=3(m+n+1)仍能被3整除。所以，不论b，c为何数，（c+b）(c-b)一定是3的倍数，很显然，等式a2=（c+b）(c-b)的左右两边矛盾；所以假设不成立，所以a，b，c三个数中一定有一个数是3的倍数。
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.
解答：
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.
解答：
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.
解答：
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...
勾股数: 满足勾股定理的正整数既称为勾股数
勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。可是，我国周朝初年（约公元前1100年）的数学家商高早就讲到过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史书记载，早在公元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应用，在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明，三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。
赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）。
赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”开方除之是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即：a2+b2=c2。他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”
即2ab+（b-a）2=c2
化简便得出：a2+b2=c2
这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。
勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索过它的证明方法。据说，它的证明方法有500来种。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎（1633～1712年），他发明的一种证法极为简便，只需用一张硬纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者如有兴趣不妨试一试。在1940年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中，就专门搜集了367个不同的证法。其中有一个证法最令人感兴趣，它是由一位美国总统作出的！
根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道，1876年4月1日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了（据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。
加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC，设其边长分别为BA=c是斜边，AC=b，BC=a。作AE⊥BA，并使AE=BA，再延长CA到D，使AD=BC=a，连D、E，则四边形CBED梯形，
求证△DAE与△CBA是全等三角形，于是△DAE、△CBA与△ABE的面
由于三个三角形面积之和即是梯形的面积，因此可得出等式：
化简后即得等式：a2+b2=c2
这样勾股定理便得到证明。
人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边为下列各数的一些三角形：
120，119，169；
3456，3367，4825；
4800，4601，6649；
13500，12709，18541；
72，65，96；
360，319，481；
2700，2291，2541；
960，799，1249；
600，481，769；
6480，4961，8161；
60，45，75；
2400，1697，2929；
240，161，289；
2700，1771，3229；
90，56，106。
以上每个数组中的数，我们称为勾股数。
一般说来，如果正数x，y，z能满足下列不定方程
x2+y2=z2（1）
则这些整数叫做勾股数。
那么怎样求出勾股数呢？我们再观察几个简单的直角三角形的边：
3，4，5；5，12，13；
7，24，25；9，40，41；
11，60，61；13，84，85；
……
从这些数中，可发现以下规律：
第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第一个数的平方加1再除以2，即设m为奇数，则一般会有：
于是就有
其中m为奇数。
但这只是一部分勾股数的规律。
（2）式两边同乘以4，则变形得：
（2m）2+（m2-1）2=（m2+1）2 （3）
很显然（3）式不论m是奇数还是偶数，等式都能成立。
然而由（3）式仍不能得到全部的勾股数。
那么怎样才能得到全部的勾股数呢？在公式（3）中，m为任意自然数，1是一个特殊的自然数，若它也变成任意自然数，设它变成n，为了使（3）式保持恒等，（3）中的第一项（2m）2应变成（2mn）2，则有
（2mn）2+（m2-n2）2=（m2+n2）2（4）
其中m＞n，（m，n）=1且m除以n的余数不等于2。
那么，可以证明出式（4）包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究，人们不仅要问
xn+yn=xn（5）
其中n＞2，n是自然数。（5）式是否也有正整数解呢？这就是到现在还仍未解决的“费马猜想”。
答：所谓勾股数，就是其中两个比较小的数的平方和等于第3个数比较大的那个数的平方。
答：3 4 5 ）、（5 12 13 ）、（7 24 25）、（9 40 41 ）、（11 60 61 ）、（13 84 85 ）勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。勾股定理的日常...
答：勾股数的词语解释是：能分别是某个直角三角形三边之长的三个整数，称为“勾股数”。不定方程x_+y_＝z_的每一组正整数解都是勾股数。结构是：勾(半包围结构)股(左右结构)数(左右结构)。拼音是：gōugǔshù。注音是：ㄍㄡㄍㄨˇㄕㄨ_。勾股数的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您...
答：在初二数学中，常用的勾股数主要是指满足勾股定理的整数（或有理数）组成的三元组，也就是满足a² + b² = c²的数对（a，b，c）。这些数对代表了直角三角形的三条边长。以下是一些常用的勾股数：1. (3, 4, 5)：这是最简单的勾股数，也是最常用的勾股数之一。它符合勾股...
答：12、13和5是勾股数。所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)，即a²+b²=c²,a,b,c∈N。又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股...
答：1、常用的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等等。2、勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数的依据是勾股定理。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。3、勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角...
答：1.常用的勾股数有： 5； 13； 2 25； 17； 40、41等等。2. 勾股数，又名为毕氏三元数 。3.勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。4.勾股数的依据是勾股定理。5.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。6. 勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度...
答：勾股定理又称勾股弦定理、勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。它是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是数形结合的纽带之一。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为...
答：一、勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方。其中，短直角边叫“勾”，长直角边叫“股”，斜边叫“弦”即：勾²+股² = 弦²二、勾股数：是满足勾股定理 a²+b² = c² 的 正整数，其中的 a、b、c称为勾股数。例如: 3²+4² = ...
