我要2007年数学竞赛初中组的题目
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）.
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
答：C．
解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.
故选C．
2．已知 ， ，且 ，则 的值等于（ ）
（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9
答：C．
解：由已知可得 ， ．又
，
所以 ，
解得 ．
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点 ， ， 均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为 ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答：B．
解：设点A的坐标为 ，点C的坐标为 （ ），则点B的坐标为 ，由勾股定理，得
，
，
，
所以 ．
由于 ，所以 ，故斜边AB上高 ．
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 次后，可得（ ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（ ＋1）×360°．
因为这（ ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多边形有（ ＋1）－34＝ －33（个），而这些多边形的内角和不少于（ －33）×180°．所以
（ ＋1）×360°≥34×60×180°＋（ －33）×180°，
解得 ≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
故选B．
5．如图，正方形 内接于⊙ ，点 在劣弧 上，连结 ， 交 于点 ．若 ，则 的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：D．
解：如图，设⊙ 的半径为 ， ，则 ， ， ．
在⊙ 中，根据相交弦定理，得 ．
即 ，
所以 ．
连结DO，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ．
所以， ．
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知 ， ， 为整数，且 ＋ ＝2006， ＝2005．若 ＜ ，则 ＋ ＋ 的最大值为 ．
答：5013．
解：由 ＋ ＝2006， ＝2005，得 ＋ ＋ ＝ ＋4011．
因为 ＋ ＝2006， ＜ ， 为整数，所以， 的最大值为1002．
于是， ＋ ＋ 的最大值为5013．
7．如图，面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则 的值等于 .
答： ．
解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则 ．由△ADG ∽ △ABC，可得 ，
解得 ．于是 ，
由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．
答：104．
解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了 米．于是 ，
且 ≤ ，
所以， ≤ ＜ ．
故x=13，此时 ．
9．已知 ，且满足 （ 表示不超过x的最大整数），则 的值等于 ．
答：6．
解：因为 ，所以 ， ，…， 等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以
＝ ＝…＝ ＝0，
＝ ＝…＝ ＝1，
所以 ，
≤ ＜ ．
故 ≤ ＜ ，于是 ≤ ＜ ，所以 6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．
答：282500．
解：设原来电话号码的六位数为 ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 ．
根据题意，有81× ＝ ．
记 ，于是
，
解得 ．
因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ ＜ ，
故 ＜ ≤ ．
因为 为整数，所以 ＝2．于是
．
所以，小明家原来的电话号码为282500．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．已知 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ， ．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的 ．
解：（1） 满足条件． ……………………5分
（2）因为 ， , 为互质的正整数，且 ≤ ，所以
，
即
．
当a＝1时， ，这样的正整数b不存在．
当a＝2时， ，故b＝1，此时 ．
当a＝3时， ，故b＝2，此时 ．
当a＝4时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝5时， ，故b＝3，此时 ．
当a＝6时， ，与 互质的正整数b不存在．
当a＝7时， ，故b＝3，4，5，此时 ， ， ．
当a＝8时， ，故b＝5，此时 ．
所以，满足条件的所有分数为 ， ， ， ， ， ， ．
…………………15分
12．设 ， ， 为互不相等的实数，且满足关系式
①
及 ， ②
求 的取值范围．
解法1：由①－2×②得
，
所以 ．
当 时，
．
…………………10分
又当 ＝ 时，由①，②得
， ③
， ④
将④两边平方，结合③得
，
化简得
，
故 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
……………15分
解法2：因为 ， ，所以
＝ ＝ ，
所以 ．
又 ，所以 ， 为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根，故
，
所以 ．
当 时，
．
…………………10分
另外，当 ＝ 时，由⑤式有
，
即
，或 ，
解得 ，或 ．
所以， 的取值范围为 且 ， ．
…………………15分
13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K． 求证： ．
证明：因为AC‖PB，所以 ．又PA是⊙O的切线，所以 ．故 ，于是
△KPE∽△KAP，
所以 ，
即 ．
………………5分
由切割线定理得
，
所以， KP＝KB．
…………………10分
因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是
，
故 ，
即 ．
…………………15分
14．2006个都不等于119的正整数 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 的最小值．
解：首先证明命题：对于任意119个正整数 ，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上，考虑如下119个正整数
， ，…， ， ①
若①中有一个是119的倍数，则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为 和 （ ≤ ＜ ≤ ），于是
，
从而此命题得证．
…………………5分
对于 中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为 ，所以
≥ ． ②
…………………10分
取 ，其余的数都为1时，②式等号成立．
所以， 的最小值为3910．
…………………15分
参考资料：http://bbs.pep.com.cn/viewthread.php?tid=268377
http://math.zhongkao.cn/
你去看看吧，我也不知道具体在哪
考试时间：2007年4月1日上午9：30—11：30
（温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答）
一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．方程组 的实数解的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：选（A）。当x≥0时，则有y－|y|=6,无解；当x<0时，则y＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3.
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
（A）14 （B）16 （C）18 （D）20
解：选（B）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种
3．已知 、 、 是三个互不相等的实数，且三个关于 的一元二次方程 ，
， 恰有一个公共实数根，则 的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解：选（D）。设这三条方程唯一公共实数根为t，则 ， ，
三式相加得： ，因为 ，所以有a+b+c=0,从而有 ，
所以 ＝ ＝
4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相
交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经
过△ABC的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
解：选（B）。如图△ADE外接圆的圆心为点F，由题意知：⊙O与⊙F是等圆，
且弧DmE＝弧DnE，所以∠EAB＝∠ABE，∠DAC＝∠ACD，
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E，F作AB，AC边上的垂线，
相交于点H，则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD＝∠ACD，
所以∠DHE+∠ACD＝∠DHE+∠KHD＝180°，即点H，D，C，E在同一个圆上，
也即点H在⊙O上，因而⊙O经过△ABC的外心。
5．方程 的整数解 ， 的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多
解：选（A）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．如图，点A，C都在函数 的图像上，点B，D都在 轴上，
且使得△OAB， △BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．
解：填 。设OB＝2a，BD＝2b，由△OAB，△BCD都是等边三角形，得
，把点A，C坐标代入 ，解得： ，
即
7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
解：填4。
连结OP，OB，则所求面积之差的绝对值＝ ＝2×2×2÷2＝4。
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ，则 ．
解：填6。如图：∠A+∠E+∠F＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠D
＝540°＝
9．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点，则 的取值范围是 ．
解：填
（1）若图像的顶点在AB上，则有 解得：
（2）若图像的顶点在x轴下方，则有 或
分别解之，得 综上，得：
10．已知对于任意正整数 ，都有 ，则 ．
解：填 。由 及 得
所以 ，于是
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．已知抛物线 ： 和抛物线 ： 相交于A，B两点．点P在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线 上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ‖ 轴时，求PQ长度的最大值．
解：（1）由 解得
不妨设点A在点B的左侧，则A（-2，6），B（2，-6）
所以
（2）设P（a,b），则-2≤a≤2， ，
因为PQ‖y轴，所以点Q的横坐标为a，则
所以PQ＝ ＝
即当a＝0（属于-2≤a≤2）时，PQ的最大值为8。
12．已知 ， 都是正整数，试问关于 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
解：假设方程 有两个整数解为 ，
由 知 ，
下证（1）
事实上，若 ，则 ， ，
即 ，因a，b为正整数,所以ab＝1，2，3或4，
易知不存在a，b的值满足
（2）不妨设
则 ，即 ，
所以有 ，因 是正整数，故
把 代入原方程得， 即 ，也即
所以 ，因a,b都是正整数，
则 解得：
由 得
综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得
方程 有两个整数解为 。
13．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足 ．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．
求证：
（1） ；
（2）△PAB∽△PDC．
证明：（1）连结PG，PE，PF，
四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆
（2）
14．（1）是否存在正整数 ， ，使得 ？
（2）设 是给定的正整数，是否存在正整数 ， ，使得 ？
解：（1）由 得：
又因为当n为正整数时， ，所以 不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数 ， ，使得
(2)当k=3时，由 得： ，
若关于m的方程有正整数解，则 （ 为正整数），
即
所以 ，
解得： 所以不存在正整数 ， ，使得 。
当 时，①若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，此时
②若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，
此时 并且m，n的值都是正整数。
综上，当 时，不存在正整数 ， ，使得 ；
当 时，存在正整数 ，使得 ； 在三角形ABC中,AD垂直BC于D,AB+BD=CD.求证角B=2角C
证明:在DC上截取DE=DB,连接AE
在三角形ABD和三角形AED中
AD为公共边
BD=ED
角ADB=角ADE=90度
所以三角形ABD全等于三角形AED
所以AB=AE,角B=角AED,BD=ED
又DC=AB+BD=AB+ED=ED+EC
所以AB=EC=AE,角C=角EAC
当 时，存在正整数 ，使得 。
够了吗
1. 考生要按要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范。
2. 考试结束，将试卷和机读答题卡一并交回。
一. 选择题（共16个小题，每小题3分，共48分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 5 D.
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 计算 的结果是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
4. 9的平方根是（ ）
A. 3 B. C. 81 D.
5. 我区2004年参加中考的考生预计达到9400人，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
6. 在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如果梯形的中位线的长是6cm，上底长是4cm，那么下底长为（ ）
A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
8. 六边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，ABCD为圆内接四边形，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
10. 如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离
11. 在 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
12. 在直角坐标系中，点 一定在（ ）
A. 抛物线 上 B. 双曲线 上
C. 直线 上 D. 直线 上
13. 如图，在 中， ，若 ， ，则BC的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
14. 如图，PA切⊙O于点A，若 ，则⊙O的半径是（ ）
A. B. C. D.
15. 若数据 的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A. 3和2 B. 2和3 C. 2和2 D. 2和4
16. 如果 ，那么二次函数 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 52分）
注意事项：
1. 第II卷包括七道大题。考生要在本试卷上按要求作答。
2. 卷面不够用时，可将答案写在第8页内的空白处，但须注明题号。
二. 填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
17. 计算：
18. 若 ，则
19. 如果圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，那么这个圆柱的侧面积是
20. 要使一个菱形成为正方形，则需增加的条件是 （填上一个正确的条件即可）。
三. （共2个小题，共9分）
21. （本小题满分4分）
分解因式：
解：
22. （本小题满分5分）
计算：
四. （本题满分5分）
23. 已知：如图，在平形四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。
求证：DE=BF
证明：
五. （本题满分6分）
24. 用换元法解方程
解：
六. （本题满分6分）
25. 如图，在 中， ， ，点D在BC边上，且 ， ，求 的正切值。
解：
七. （本题满分7分）
26. 甲、乙两名工人接受相同数量的生产任务。开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩120件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用时间相同。求原来甲、乙两人每天各做多少件？
解：
八. （本题满分7分）
27. 已知：把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点A的坐标为 ，连结AB， ，将 沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD交x轴于点E。
（1）求D点坐标；
（2）求经过点A、D的直线的解析式。
解：
【试题答案】
阅卷须知：
1. 保持卷面整洁，认真掌握评分标准。
2. 一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，将大题实际得分填入本题和卷首的得分栏内，要求数字正确清楚，各题的阅卷人员和复查人员须按要求签名。
3. 一个题目往往不止一种解法，如果考生的解法与此不同，可参照评分标准给分。
为了便于掌握评分标准，给出的解题过程比较详细，考生只要写明主要过程即可。
第I卷（选择题 48分）
一. （共16个小题，每小题3分，共48分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. B 7. D 8. C
9. C 10. A 11. B 12. D 13. C 14. B 15. A 16. D
第II卷（非选择题 52分）
二. 填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）
17. 18. 19.
20. 有一个角是直角或对角线相等。
三. （共2个小题，共9分）
21. （本小题满分4分）
分解因式：
解： （2分）
（3分）
（4分）
22. （本小题满分5分）
计算：
解： （2分）
（3分）
（4分）
（5分）
四. （本题满分5分）
23. 已知：如图，在平形四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。
求证：DE=BF。
证明： 四边形ABCD是平行四边形
（2分）
（3分）
在 和 中，
（4分）
（5分）
五. （本题满分6分）
24. 用换元法解方程
解：设 ，则 （1分）
原方程可化为 （2分）
（3分）
当 时，
， 此方程无实数根（4分）
当 时，
解得 （5分）
经检验， 都是原方程的根。
原方程的根是 （6分）
六. （本题满分6分）
25. 如图，在 中， ， ，点D在BC边上，且 ， ，求 的正切值。
解法一：
过D点作 ，交AB于E点
在 中， ，
（1分）
在 中， ，
设 ，则
根据勾股定理，得BC=8（2分）
（3分）
在 中， ，
（4分）
根据勾股定理，得
（5分）
（6分）
解法二：过B点作 交AD的延长线于F点，
同解法一得，BD=2（3分）
在 中， ，
根据勾股定理，得 （4分）
在 中，根据勾股定理，得
（5分）
（6分）
七. （本题满分7分）
26. 甲、乙两名工人接受相同数量的生产任务。开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩120件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用时间相同。求原来甲、乙两人每天各做多少件？
解：设原来甲每天做x件，则乙每天做 件，
改进生产技术后，乙每天做 件（1分）
根据题意，得 （4分）
解这个方程，得 （5分）
经检验， 都是原方程的解，但 不合题意，舍去。
（6分）
答：原来甲每天做10件，乙每天做6件。（7分）
八. （本题满分7分）
27. 已知：把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点A的坐标为 ，连结AB， ，将 沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD交x轴于点E。
（1）求D点坐标；
（2）求经过点A、D的直线的解析式。
解：根据题意，可分以下两种情况：
第一种情况矩形在第一象限，如图，
（1） ，
又 ，
过点D作y轴的垂线，垂足为F，
，
点D的坐标为 （2分）
（2）设经过点 的直线的解析式为 ，
解得
经过点A、D的直线的解析式为 （4分）
第二种情况矩形在第二象限，（图略）
（1）由第一种情况，根据对称性得，点D的坐标为 （5分）
（2）设经过点 、 的直线的解析式为 ，
解得
经过点A、D的直线的解析式为 （7分）
2007年全国初中数学竞赛试题及答案
考试时间：2007年4月1日上午9：30—11：30
（温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答）
一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．方程组 的实数解的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：选（A）。当x≥0时，则有y－|y|=6,无解；当x<0时，则y＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3.
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
（A）14 （B）16 （C）18 （D）20
解：选（B）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种
3．已知 、 、 是三个互不相等的实数，且三个关于 的一元二次方程 ，
， 恰有一个公共实数根，则 的值为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解：选（D）。设这三条方程唯一公共实数根为t，则 ， ，
三式相加得： ，因为 ，所以有a+b+c=0,从而有 ，
所以 ＝ ＝
4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相
交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经
过△ABC的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
解：选（B）。如图△ADE外接圆的圆心为点F，由题意知：⊙O与⊙F是等圆，
且弧DmE＝弧DnE，所以∠EAB＝∠ABE，∠DAC＝∠ACD，
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E，F作AB，AC边上的垂线，
相交于点H，则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD＝∠ACD，
所以∠DHE+∠ACD＝∠DHE+∠KHD＝180°，即点H，D，C，E在同一个圆上，
也即点H在⊙O上，因而⊙O经过△ABC的外心。
5．方程 的整数解 ， 的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多
解：选（A）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．如图，点A，C都在函数 的图像上，点B，D都在 轴上，
且使得△OAB， △BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 ．
解：填 。设OB＝2a，BD＝2b，由△OAB，△BCD都是等边三角形，得
，把点A，C坐标代入 ，解得： ，
即
7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．
解：填4。
连结OP，OB，则所求面积之差的绝对值＝ ＝2×2×2÷2＝4。
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ，则 ．
解：填6。如图：∠A+∠E+∠F＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠D
＝540°＝
9．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点，则 的取值范围是 ．
解：填
（1）若图像的顶点在AB上，则有 解得：
（2）若图像的顶点在x轴下方，则有 或
分别解之，得 综上，得：
10．已知对于任意正整数 ，都有 ，则 ．
解：填 。由 及 得
所以 ，于是
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．已知抛物线 ： 和抛物线 ： 相交于A，B两点．点P在抛物线 上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线 上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ‖ 轴时，求PQ长度的最大值．
解：（1）由 解得
不妨设点A在点B的左侧，则A（-2，6），B（2，-6）
所以
（2）设P（a,b），则-2≤a≤2， ，
因为PQ‖y轴，所以点Q的横坐标为a，则
所以PQ＝ ＝
即当a＝0（属于-2≤a≤2）时，PQ的最大值为8。
12．已知 ， 都是正整数，试问关于 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
解：假设方程 有两个整数解为 ，
由 知 ，
下证（1）
事实上，若 ，则 ， ，
即 ，因a，b为正整数,所以ab＝1，2，3或4，
易知不存在a，b的值满足
（2）不妨设
则 ，即 ，
所以有 ，因 是正整数，故
把 代入原方程得， 即 ，也即
所以 ，因a,b都是正整数，
则 解得：
由 得
综上，存在正整数a＝1，b=3或a=3，b=1，使得
方程 有两个整数解为 。
13．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足 ．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．
求证：
（1） ；
（2）△PAB∽△PDC．
证明：（1）连结PG，PE，PF，
四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆
（2）
14．（1）是否存在正整数 ， ，使得 ？
（2）设 是给定的正整数，是否存在正整数 ， ，使得 ？
解：（1）由 得：
又因为当n为正整数时， ，所以 不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数 ， ，使得
(2)当k=3时，由 得： ，
若关于m的方程有正整数解，则 （ 为正整数），
即
所以 ，
解得： 所以不存在正整数 ， ，使得 。
当 时，①若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，此时
②若 ，代入 。整理得
设 （ 为正整数）
即
令 ，解得 ，
此时 并且m，n的值都是正整数。
综上，当 时，不存在正整数 ， ，使得 ；
当 时，存在正整数 ，使得 ；
当 时，存在正整数 ，使得 。
在三角形ABC中,AD垂直BC于D,AB+BD=CD.求证角B=2角C
证明:在DC上截取DE=DB,连接AE
在三角形ABD和三角形AED中
AD为公共边
BD=ED
角ADB=角ADE=90度
所以三角形ABD全等于三角形AED
所以AB=AE,角B=角AED,BD=ED
又DC=AB+BD=AB+ED=ED+EC
所以AB=EC=AE,角C=角EAC
所以角B=角AED=角EAC+角C=2角C
没固定题目的，要不怎么叫数学，靠着没什么意思。
答：2007年全国初中数学联合竞赛命题（即二试）范围以2006年8月第14次全国数学普及工作会议讨论通过的初中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）为准（见附件）主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合运用知识解决问题的能力。初三试题：一试按“中考”要求只考基础知识，包括选择、填空和两个解答题、...
答：邵恒志 赵桂香 叶绍基 王奇志 黄昌友 胡磊 常欢 左光宇 姜广平 孙彩霞 田中 赵兰 高翔 张广会 唐茂华 崔长兰 李迪文 林艳秋 文茂昆 李刚 王伟明 易安 李桔 阿全喜 李占涛 纪和祥 亢红 赵领侠 熊继焰 叶青 赵昕继 黄峰 张宏清 吴冬容 金维敏 刘淑琴 叶轩 谭志毅 刘文丽 崔志红 朱超 陈淑瑜 梁缘...
答：2010-07-18 知道答主 回答量:31 采纳率:0% 帮助的人:19.4万 我也去答题访问个人页 关注 展开全部 2008年全国初中数学联赛第一试试题及参考答案 一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.设a2+1=3a,b2+1=3b,且a≠b,则代数式+的值为( ) A.5 B.7 C.9 D.11 2.如图,设AD,BE...
答：《初中数学竞赛自招资料 》百度网盘资源免费下载 链接: https://pan.baidu.com/s/1mx2BImGgl39WxEuWNyCkqw ?pwd=awxw 提取码: awxw 初中数学竞赛自招资料|上海自招|竞赛资料|海风讲义|供系统上传|第三批次|第二批次20170525|初中竞赛知识列表.xlsx|中位线及其应用.docx|质数、合数.docx|正弦定理...
答：2006年全国初中数学联合竞赛试卷(辽宁) 第二试 (4月9日 上午 10:00-11:30) 一、(本题满分20分) 已知关于x的一元二次方程x2 +2(a + 2b + 3)x+(a2 + 4b2 + 99)= 0无相异两实根,则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组? 二、(本题满分25分) 如图,D为等腰△ABC底边BC的中点,E、F分别...
答：哦，这些题目在高中竞赛数学中是一类问题，不定方程求解。比如说问题一可以转化为 x+y+z=10,2<=x<=8,y>=2,z<=3 一般实现找出一组解之后再找其他解 本题过程：白 红 黑 8 2 0 7 3 0 6 4 0 5 5 0 7 2 1 6 3 1 5 4 1 4 5 1 6 2 2 5 3 2 4 4 2 3 5 2 5 2...
答：我也去答题访问个人页 关注 展开全部 2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)a+2b 3c=0ab bc ca1.设非零实数a,b,...
答：2007年全国初中数学联赛 武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)1、 已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限,且与x轴交于点(-2,0),则不等式ax>b的解集为( )(A)x>-2 (B)x<-2 (C)x>2 (D)x<2解:∵a>0,b=2a, ∴ax>b的解集为x>2. 选...
答：求北师大版八年级下册数学奥赛题100道(要精品哦)满一百道并且都是精品才给分哦!每道题0.2分哦!强调一点:我不希望做选择题,最好是大题,答案要过程完整...江苏省第十五届初中数学竞赛初二年级 第二试 一、选择题(每题7分,共56分.以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后...
答：/r=奇数，设t²=rm,由于t²模4余1，所以r,m模4同余，即它们要么模4余1，要么模4余-1，①模4余1，得到=2^[2s+2]r-rm=4n-1(mod4)②模4余-1，得到=2^[2s+2]r-rm=4n-1(mod4），可见这个奇数若存在总是模4余1的，在题目中取k=n,必有4k-1整除4xy／x+y。
