我要2007年数学竞赛初中组的题目
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)
1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ).
(A)36 (B)37 (C)55 (D)90
答:C.
解:因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.
故选C.
2.已知 , ,且 ,则 的值等于( )
(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9
答:C.
解:由已知可得 , .又
,
所以 ,
解得 .
故选C.
3.Rt△ABC的三个顶点 , , 均在抛物线 上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为 ,则( )
(A) (B) (C) (D)
答:B.
解:设点A的坐标为 ,点C的坐标为 ( ),则点B的坐标为 ,由勾股定理,得
,
,
,
所以 .
由于 ,所以 ,故斜边AB上高 .
故选B.
4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )
(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007
答:B.
解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过 次后,可得( +1)个多边形,这些多边形的内角和为( +1)×360°.
因为这( +1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为
34×(62-2)×180°=34×60×180°,
其余多边形有( +1)-34= -33(个),而这些多边形的内角和不少于( -33)×180°.所以
( +1)×360°≥34×60×180°+( -33)×180°,
解得 ≥2005.
当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了
58+33+33×58=2005(刀).
故选B.
5.如图,正方形 内接于⊙ ,点 在劣弧 上,连结 , 交 于点 .若 ,则 的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
答:D.
解:如图,设⊙ 的半径为 , ,则 , , .
在⊙ 中,根据相交弦定理,得 .
即 ,
所以 .
连结DO,由勾股定理,得 ,
即 ,
解得 .
所以, .
故选D.
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知 , , 为整数,且 + =2006, =2005.若 < ,则 + + 的最大值为 .
答:5013.
解:由 + =2006, =2005,得 + + = +4011.
因为 + =2006, < , 为整数,所以, 的最大值为1002.
于是, + + 的最大值为5013.
7.如图,面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则 的值等于 .
答: .
解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则 .由△ADG ∽ △ABC,可得 ,
解得 .于是 ,
由题意,a=28,b=3,c=48,所以 .
8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分. 那么,出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.
答:104.
解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了 米.于是 ,
且 ≤ ,
所以, ≤ < .
故x=13,此时 .
9.已知 ,且满足 ( 表示不超过x的最大整数),则 的值等于 .
答:6.
解:因为 ,所以 , ,…, 等于0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以
= =…= =0,
= =…= =1,
所以 ,
≤ < .
故 ≤ < ,于是 ≤ < ,所以 6.
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .
答:282500.
解:设原来电话号码的六位数为 ,则经过两次升位后电话号码的八位数为 .
根据题意,有81× = .
记 ,于是
,
解得 .
因为 ≤ ≤ ,所以 ≤ < ,
故 < ≤ .
因为 为整数,所以 =2.于是
.
所以,小明家原来的电话号码为282500.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11.已知 , , 为互质的正整数,且 ≤ , .
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的 .
解:(1) 满足条件. ……………………5分
(2)因为 , , 为互质的正整数,且 ≤ ,所以
,
即
.
当a=1时, ,这样的正整数b不存在.
当a=2时, ,故b=1,此时 .
当a=3时, ,故b=2,此时 .
当a=4时, ,与 互质的正整数b不存在.
当a=5时, ,故b=3,此时 .
当a=6时, ,与 互质的正整数b不存在.
当a=7时, ,故b=3,4,5,此时 , , .
当a=8时, ,故b=5,此时 .
所以,满足条件的所有分数为 , , , , , , .
…………………15分
12.设 , , 为互不相等的实数,且满足关系式
①
及 , ②
求 的取值范围.
解法1:由①-2×②得
,
所以 .
当 时,
.
…………………10分
又当 = 时,由①,②得
, ③
, ④
将④两边平方,结合③得
,
化简得
,
故 ,
解得 ,或 .
所以, 的取值范围为 且 , .
……………15分
解法2:因为 , ,所以
= = ,
所以 .
又 ,所以 , 为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根,故
,
所以 .
当 时,
.
…………………10分
另外,当 = 时,由⑤式有
,
即
,或 ,
解得 ,或 .
所以, 的取值范围为 且 , .
…………………15分
13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K. 求证: .
证明:因为AC‖PB,所以 .又PA是⊙O的切线,所以 .故 ,于是
△KPE∽△KAP,
所以 ,
即 .
………………5分
由切割线定理得
,
所以, KP=KB.
…………………10分
因为AC‖PB,所以,△KPE∽△ACE,于是
,
故 ,
即 .
…………………15分
14.2006个都不等于119的正整数 排列成一行数,其中任意连续若干项之和都不等于119,求 的最小值.
解:首先证明命题:对于任意119个正整数 ,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.
事实上,考虑如下119个正整数
, ,…, , ①
若①中有一个是119的倍数,则结论成立.
若①中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设为 和 ( ≤ < ≤ ),于是
,
从而此命题得证.
…………………5分
对于 中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为 ,所以
≥ . ②
…………………10分
取 ,其余的数都为1时,②式等号成立.
所以, 的最小值为3910.
…………………15分
参考资料:http://bbs.pep.com.cn/viewthread.php?tid=268377
http://math.zhongkao.cn/
你去看看吧,我也不知道具体在哪
考试时间:2007年4月1日上午9:30—11:30
(温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答)
一、选择题:(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后括号里.不填、多填或错填都得0分)
1.方程组 的实数解的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解:选(A)。当x≥0时,则有y-|y|=6,无解;当x<0时,则y+|y|=18,解得:y=9,此时x=-3.
2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( )
(A)14 (B)16 (C)18 (D)20
解:选(B)。只用考虑红球与黑球各有4种选择:红球(2,3,4,5),黑球(0,1,2,3)共4×4=16种
3.已知 、 、 是三个互不相等的实数,且三个关于 的一元二次方程 ,
, 恰有一个公共实数根,则 的值为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解:选(D)。设这三条方程唯一公共实数根为t,则 , ,
三式相加得: ,因为 ,所以有a+b+c=0,从而有 ,
所以 = =
4.已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且与边AB,AC分别相
交于点D,E.若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经
过△ABC的( )
(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心
解:选(B)。如图△ADE外接圆的圆心为点F,由题意知:⊙O与⊙F是等圆,
且弧DmE=弧DnE,所以∠EAB=∠ABE,∠DAC=∠ACD,
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E,F作AB,AC边上的垂线,
相交于点H,则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD=∠ACD,
所以∠DHE+∠ACD=∠DHE+∠KHD=180°,即点H,D,C,E在同一个圆上,
也即点H在⊙O上,因而⊙O经过△ABC的外心。
5.方程 的整数解 , 的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多
解:选(A)。原方程可变形为:x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2,左边是6的倍数,而右边不是6的倍数。
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.如图,点A,C都在函数 的图像上,点B,D都在 轴上,
且使得△OAB, △BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 .
解:填 。设OB=2a,BD=2b,由△OAB,△BCD都是等边三角形,得
,把点A,C坐标代入 ,解得: ,
即
7.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB = 90°,CA = 4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB(指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是 .
解:填4。
连结OP,OB,则所求面积之差的绝对值= =2×2×2÷2=4。
8.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ,则 .
解:填6。如图:∠A+∠E+∠F=360°-∠α,∠B+∠C+∠G=360°-∠β,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=(360°-∠α)+(360°-∠β)+∠D
=540°=
9.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点,则 的取值范围是 .
解:填
(1)若图像的顶点在AB上,则有 解得:
(2)若图像的顶点在x轴下方,则有 或
分别解之,得 综上,得:
10.已知对于任意正整数 ,都有 ,则 .
解:填 。由 及 得
所以 ,于是
三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)
11.已知抛物线 : 和抛物线 : 相交于A,B两点.点P在抛物线 上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线 上,也位于点A和点B之间.
(1)求线段AB的长;
(2)当PQ‖ 轴时,求PQ长度的最大值.
解:(1)由 解得
不妨设点A在点B的左侧,则A(-2,6),B(2,-6)
所以
(2)设P(a,b),则-2≤a≤2, ,
因为PQ‖y轴,所以点Q的横坐标为a,则
所以PQ= =
即当a=0(属于-2≤a≤2)时,PQ的最大值为8。
12.已知 , 都是正整数,试问关于 的方程 是否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明.
解:假设方程 有两个整数解为 ,
由 知 ,
下证(1)
事实上,若 ,则 , ,
即 ,因a,b为正整数,所以ab=1,2,3或4,
易知不存在a,b的值满足
(2)不妨设
则 ,即 ,
所以有 ,因 是正整数,故
把 代入原方程得, 即 ,也即
所以 ,因a,b都是正整数,
则 解得:
由 得
综上,存在正整数a=1,b=3或a=3,b=1,使得
方程 有两个整数解为 。
13.如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足 .若CD,FE的延长线相交于点G,△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P,连接PA,PB,PC,PD.
求证:
(1) ;
(2)△PAB∽△PDC.
证明:(1)连结PG,PE,PF,
四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆
(2)
14.(1)是否存在正整数 , ,使得 ?
(2)设 是给定的正整数,是否存在正整数 , ,使得 ?
解:(1)由 得:
又因为当n为正整数时, ,所以 不是完全平方数,即m+1不是正整数,故不存在正整数 , ,使得
(2)当k=3时,由 得: ,
若关于m的方程有正整数解,则 ( 为正整数),
即
所以 ,
解得: 所以不存在正整数 , ,使得 。
当 时,①若 ,代入 。整理得
设 ( 为正整数)
即
令 ,解得 ,此时
②若 ,代入 。整理得
设 ( 为正整数)
即
令 ,解得 ,
此时 并且m,n的值都是正整数。
综上,当 时,不存在正整数 , ,使得 ;
当 时,存在正整数 ,使得 ; 在三角形ABC中,AD垂直BC于D,AB+BD=CD.求证角B=2角C
证明:在DC上截取DE=DB,连接AE
在三角形ABD和三角形AED中
AD为公共边
BD=ED
角ADB=角ADE=90度
所以三角形ABD全等于三角形AED
所以AB=AE,角B=角AED,BD=ED
又DC=AB+BD=AB+ED=ED+EC
所以AB=EC=AE,角C=角EAC
当 时,存在正整数 ,使得 。
够了吗
1. 考生要按要求在机读答题卡上作答,题号要对应,填涂要规范。
2. 考试结束,将试卷和机读答题卡一并交回。
一. 选择题(共16个小题,每小题3分,共48分)在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。
1. 的倒数是( )
A. B. C. 5 D.
2. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
3. 计算 的结果是( )
A. 1 B. 0 C. D.
4. 9的平方根是( )
A. 3 B. C. 81 D.
5. 我区2004年参加中考的考生预计达到9400人,用科学记数法表示这个数为( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
6. 在函数 中,自变量x的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 如果梯形的中位线的长是6cm,上底长是4cm,那么下底长为( )
A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
8. 六边形的内角和为( )
A. B. C. D.
9. 如图,ABCD为圆内接四边形,若 ,则 等于( )
A. B. C. D.
10. 如果两圆的半径分别为3和4,圆心距为7,那么这两个圆的位置关系是( )
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离
11. 在 中, ,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
12. 在直角坐标系中,点 一定在( )
A. 抛物线 上 B. 双曲线 上
C. 直线 上 D. 直线 上
13. 如图,在 中, ,若 , ,则BC的长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
14. 如图,PA切⊙O于点A,若 ,则⊙O的半径是( )
A. B. C. D.
15. 若数据 的平均数是4,则这组数据的中位数和众数是( )
A. 3和2 B. 2和3 C. 2和2 D. 2和4
16. 如果 ,那么二次函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 52分)
注意事项:
1. 第II卷包括七道大题。考生要在本试卷上按要求作答。
2. 卷面不够用时,可将答案写在第8页内的空白处,但须注明题号。
二. 填空题(共4个小题,每小题3分,共12分)
17. 计算:
18. 若 ,则
19. 如果圆柱的高为4cm,底面半径为3cm,那么这个圆柱的侧面积是
20. 要使一个菱形成为正方形,则需增加的条件是 (填上一个正确的条件即可)。
三. (共2个小题,共9分)
21. (本小题满分4分)
分解因式:
解:
22. (本小题满分5分)
计算:
四. (本题满分5分)
23. 已知:如图,在平形四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF。
求证:DE=BF
证明:
五. (本题满分6分)
24. 用换元法解方程
解:
六. (本题满分6分)
25. 如图,在 中, , ,点D在BC边上,且 , ,求 的正切值。
解:
七. (本题满分7分)
26. 甲、乙两名工人接受相同数量的生产任务。开始时,乙比甲每天少做4件,乙比甲多用2天时间,这样甲、乙两人各剩120件;随后,乙改进了生产技术,每天比原来多做6件,而甲每天的工作量不变,结果两人完成全部生产任务所用时间相同。求原来甲、乙两人每天各做多少件?
解:
八. (本题满分7分)
27. 已知:把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中,使OB、OA分别落在x轴、y轴上,点A的坐标为 ,连结AB, ,将 沿AB翻折,使C点落在该坐标平面内的D点处,AD交x轴于点E。
(1)求D点坐标;
(2)求经过点A、D的直线的解析式。
解:
【试题答案】
阅卷须知:
1. 保持卷面整洁,认真掌握评分标准。
2. 一律用红钢笔或红圆珠笔批阅,将大题实际得分填入本题和卷首的得分栏内,要求数字正确清楚,各题的阅卷人员和复查人员须按要求签名。
3. 一个题目往往不止一种解法,如果考生的解法与此不同,可参照评分标准给分。
为了便于掌握评分标准,给出的解题过程比较详细,考生只要写明主要过程即可。
第I卷(选择题 48分)
一. (共16个小题,每小题3分,共48分)在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。
1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. B 7. D 8. C
9. C 10. A 11. B 12. D 13. C 14. B 15. A 16. D
第II卷(非选择题 52分)
二. 填空题(共4个小题,每小题3分,共12分)
17. 18. 19.
20. 有一个角是直角或对角线相等。
三. (共2个小题,共9分)
21. (本小题满分4分)
分解因式:
解: (2分)
(3分)
(4分)
22. (本小题满分5分)
计算:
解: (2分)
(3分)
(4分)
(5分)
四. (本题满分5分)
23. 已知:如图,在平形四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF。
求证:DE=BF。
证明: 四边形ABCD是平行四边形
(2分)
(3分)
在 和 中,
(4分)
(5分)
五. (本题满分6分)
24. 用换元法解方程
解:设 ,则 (1分)
原方程可化为 (2分)
(3分)
当 时,
, 此方程无实数根(4分)
当 时,
解得 (5分)
经检验, 都是原方程的根。
原方程的根是 (6分)
六. (本题满分6分)
25. 如图,在 中, , ,点D在BC边上,且 , ,求 的正切值。
解法一:
过D点作 ,交AB于E点
在 中, ,
(1分)
在 中, ,
设 ,则
根据勾股定理,得BC=8(2分)
(3分)
在 中, ,
(4分)
根据勾股定理,得
(5分)
(6分)
解法二:过B点作 交AD的延长线于F点,
同解法一得,BD=2(3分)
在 中, ,
根据勾股定理,得 (4分)
在 中,根据勾股定理,得
(5分)
(6分)
七. (本题满分7分)
26. 甲、乙两名工人接受相同数量的生产任务。开始时,乙比甲每天少做4件,乙比甲多用2天时间,这样甲、乙两人各剩120件;随后,乙改进了生产技术,每天比原来多做6件,而甲每天的工作量不变,结果两人完成全部生产任务所用时间相同。求原来甲、乙两人每天各做多少件?
解:设原来甲每天做x件,则乙每天做 件,
改进生产技术后,乙每天做 件(1分)
根据题意,得 (4分)
解这个方程,得 (5分)
经检验, 都是原方程的解,但 不合题意,舍去。
(6分)
答:原来甲每天做10件,乙每天做6件。(7分)
八. (本题满分7分)
27. 已知:把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中,使OB、OA分别落在x轴、y轴上,点A的坐标为 ,连结AB, ,将 沿AB翻折,使C点落在该坐标平面内的D点处,AD交x轴于点E。
(1)求D点坐标;
(2)求经过点A、D的直线的解析式。
解:根据题意,可分以下两种情况:
第一种情况矩形在第一象限,如图,
(1) ,
又 ,
过点D作y轴的垂线,垂足为F,
,
点D的坐标为 (2分)
(2)设经过点 的直线的解析式为 ,
解得
经过点A、D的直线的解析式为 (4分)
第二种情况矩形在第二象限,(图略)
(1)由第一种情况,根据对称性得,点D的坐标为 (5分)
(2)设经过点 、 的直线的解析式为 ,
解得
经过点A、D的直线的解析式为 (7分)
2007年全国初中数学竞赛试题及答案
考试时间:2007年4月1日上午9:30—11:30
(温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答)
一、选择题:(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后括号里.不填、多填或错填都得0分)
1.方程组 的实数解的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解:选(A)。当x≥0时,则有y-|y|=6,无解;当x<0时,则y+|y|=18,解得:y=9,此时x=-3.
2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( )
(A)14 (B)16 (C)18 (D)20
解:选(B)。只用考虑红球与黑球各有4种选择:红球(2,3,4,5),黑球(0,1,2,3)共4×4=16种
3.已知 、 、 是三个互不相等的实数,且三个关于 的一元二次方程 ,
, 恰有一个公共实数根,则 的值为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解:选(D)。设这三条方程唯一公共实数根为t,则 , ,
三式相加得: ,因为 ,所以有a+b+c=0,从而有 ,
所以 = =
4.已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且与边AB,AC分别相
交于点D,E.若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经
过△ABC的( )
(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心
解:选(B)。如图△ADE外接圆的圆心为点F,由题意知:⊙O与⊙F是等圆,
且弧DmE=弧DnE,所以∠EAB=∠ABE,∠DAC=∠ACD,
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E,F作AB,AC边上的垂线,
相交于点H,则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD=∠ACD,
所以∠DHE+∠ACD=∠DHE+∠KHD=180°,即点H,D,C,E在同一个圆上,
也即点H在⊙O上,因而⊙O经过△ABC的外心。
5.方程 的整数解 , 的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多
解:选(A)。原方程可变形为:x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2,左边是6的倍数,而右边不是6的倍数。
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.如图,点A,C都在函数 的图像上,点B,D都在 轴上,
且使得△OAB, △BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 .
解:填 。设OB=2a,BD=2b,由△OAB,△BCD都是等边三角形,得
,把点A,C坐标代入 ,解得: ,
即
7.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB = 90°,CA = 4.点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB(指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是 .
解:填4。
连结OP,OB,则所求面积之差的绝对值= =2×2×2÷2=4。
8.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ,则 .
解:填6。如图:∠A+∠E+∠F=360°-∠α,∠B+∠C+∠G=360°-∠β,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=(360°-∠α)+(360°-∠β)+∠D
=540°=
9.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点,则 的取值范围是 .
解:填
(1)若图像的顶点在AB上,则有 解得:
(2)若图像的顶点在x轴下方,则有 或
分别解之,得 综上,得:
10.已知对于任意正整数 ,都有 ,则 .
解:填 。由 及 得
所以 ,于是
三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)
11.已知抛物线 : 和抛物线 : 相交于A,B两点.点P在抛物线 上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线 上,也位于点A和点B之间.
(1)求线段AB的长;
(2)当PQ‖ 轴时,求PQ长度的最大值.
解:(1)由 解得
不妨设点A在点B的左侧,则A(-2,6),B(2,-6)
所以
(2)设P(a,b),则-2≤a≤2, ,
因为PQ‖y轴,所以点Q的横坐标为a,则
所以PQ= =
即当a=0(属于-2≤a≤2)时,PQ的最大值为8。
12.已知 , 都是正整数,试问关于 的方程 是否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明.
解:假设方程 有两个整数解为 ,
由 知 ,
下证(1)
事实上,若 ,则 , ,
即 ,因a,b为正整数,所以ab=1,2,3或4,
易知不存在a,b的值满足
(2)不妨设
则 ,即 ,
所以有 ,因 是正整数,故
把 代入原方程得, 即 ,也即
所以 ,因a,b都是正整数,
则 解得:
由 得
综上,存在正整数a=1,b=3或a=3,b=1,使得
方程 有两个整数解为 。
13.如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足 .若CD,FE的延长线相交于点G,△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P,连接PA,PB,PC,PD.
求证:
(1) ;
(2)△PAB∽△PDC.
证明:(1)连结PG,PE,PF,
四边形PGED和四边形PGFC都内接于圆
(2)
14.(1)是否存在正整数 , ,使得 ?
(2)设 是给定的正整数,是否存在正整数 , ,使得 ?
解:(1)由 得:
又因为当n为正整数时, ,所以 不是完全平方数,即m+1不是正整数,故不存在正整数 , ,使得
(2)当k=3时,由 得: ,
若关于m的方程有正整数解,则 ( 为正整数),
即
所以 ,
解得: 所以不存在正整数 , ,使得 。
当 时,①若 ,代入 。整理得
设 ( 为正整数)
即
令 ,解得 ,此时
②若 ,代入 。整理得
设 ( 为正整数)
即
令 ,解得 ,
此时 并且m,n的值都是正整数。
综上,当 时,不存在正整数 , ,使得 ;
当 时,存在正整数 ,使得 ;
当 时,存在正整数 ,使得 。
在三角形ABC中,AD垂直BC于D,AB+BD=CD.求证角B=2角C
证明:在DC上截取DE=DB,连接AE
在三角形ABD和三角形AED中
AD为公共边
BD=ED
角ADB=角ADE=90度
所以三角形ABD全等于三角形AED
所以AB=AE,角B=角AED,BD=ED
又DC=AB+BD=AB+ED=ED+EC
所以AB=EC=AE,角C=角EAC
所以角B=角AED=角EAC+角C=2角C
没固定题目的,要不怎么叫数学,靠着没什么意思。
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