大学微积分 求极限时经常能用得上的万能公式
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-06-26
大学微积分极限问题。
lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e
lim(x->∞)(1+1/x)^x=e
lim(x->0)[x*sin(1/x)]=0
或者lim(x->∞)[(1/x)*sinx]=0
等价无穷小代换，
当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x (1-cosx)~(1/2)*(x^2)~ secx-1 (a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna) (e^x)-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x loga(1+x)~x/lna (1+x)^a-1~ax(a≠0)
等价无穷小在应用的时候，必须是相乘或相除的关系才能代换
比如lim(x->0)tanx/x =lim(x->0)x/x=1
但是lim(x->0)(tanx-x)/e^x像这种情况，就不能将tanx~x得到极限为0的结论
万能公式都是可以用定理以及洛必达法则或等价无穷小代换来求得的，所以掌握方法最重要，因为公式容易记混的。
lim[x-->+∞]arctanx=π/2
lim[x-->-∞]arctanx=-π/2
lim[x-->∞]arctanx 不存在
即arctanx是有界函数，当x趋于正无穷大时，arctanx的极限为π/2，当x趋于负无穷大时，arctanx的极限为负π/2，当x趋于无穷大时 ，arctanx的极限不存在。
lim(x->0)(1+x)^(1/x)=e
lim(x->∞)(1+1/x)^x=e
lim(x->0)[x*sin(1/x)]=0
或者lim(x->∞)[(1/x)*sinx]=0
等价无穷小代换，
当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x (1-cosx)~(1/2)*(x^2)~ secx-1 (a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna) (e^x)-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x loga(1+x)~x/lna (1+x)^a-1~ax(a≠0)
等价无穷小在应用的时候，必须是相乘或相除的关系才能代换
比如lim(x->0)tanx/x =lim(x->0)x/x=1
但是lim(x->0)(tanx-x)/e^x像这种情况，就不能将tanx~x得到极限为0的结论
万能公式都是可以用定理以及洛必达法则或等价无穷小代换来求得的，所以掌握方法最重要，因为公式容易记混的。
