高一数学函数(值域 定义域)8种解法
网络资料:
1. 求函数的解析式
(1)求函数解析式的常用方法:
①换元法( 注意新元的取值范围)
②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等)
③整体代换(配凑法)
④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)
(2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。
(3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
2. 求函数的定义域
求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况:
①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;
②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;
③若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题.
3. 求函数值域(最值)的一般方法:
(1)利用基本初等函数的值域;
(2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数);
(3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如型的函数)
(4)函数的单调性:特别关注的图象及性质
(5)部分分式法、判别式法(分式函数)
(6)换元法(无理函数)
(7)导数法(高次函数)
(8)反函数法
(9)数形结合法
4. 求函数的单调性
(1)定义法:
(2)导数法:
(3)利用复合函数的单调性:
(4)关于函数单调性还有以下一些常见结论:
①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______;
②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性;
③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性;
(5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等
(6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。
5. 函数的奇偶性
奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法:定义法,图象法,复合函数法
应用:把函数值进行转化求解。
6. 周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.
应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。
没有具体函数求不出值域
用于简单的解析式。
y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, +∞)
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞)
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量(新量)的变化范围。
y=-x+2√( x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0, x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(-∞, 1].
4. 不等式法
用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法。
y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),+∞).
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为
[f(b), f(a)]. 8 要求值域就要先求定义域如果是抛物线,还要看看顶点是否在定义域内