求解极限问题

lim(2/π.arctanx)^x当x趋近正无穷的时候值是e^(-2/π)。

lim(x→∞) (2/π*arctanx)^x

=e^lim(x→∞) xln(2/π*arctanx)

=e^lim(x→∞) ln(2/π*arctanx)/(1/x)

用洛必达法则得

=e^lim(x→∞) 1/[(x^2+1)arctanx]/(-1/x^2)

=e^-lim(x→∞) x^2/[(x^2+1)arctanx]

=e^-lim(x→∞) x^2/(x^2*arctanx+arctanx)

=e^-lim(x→∞) 1/[arctanx+(arctanx)/x^2]，取得极限

=e^-1/(π/2+0)

=e^(-2/π)

注意事项

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型构型，否则滥用洛必达法则会出错（其实 形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。当不存在时（不包括情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。