如何用等价无穷小解决极限问题?
kuaidi.ping-jia.net 作者:佚名 更新日期:2024-09-01
微积分中,等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。
求极限时,使用等价无穷小的条件 :
被代换的量,在取极限的时候极限值为0;被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。
x -> 0 时,sinx - x ~ -x^3 / 6 。
用函数的泰勒展开式:sinx ~ x - x^3/6 + x^5/120 - ....。
因此当 x -> 0 时,sinx - x ~ -x^3 / 6 。
另一种做法:先对sinx-x求导得到cosx-1。显然等价于-0.5x²。再积分一次得到-1/6x³。过程如下:
[sinx-x]’=cosx-1,cosx-1等价于-0.5x²,∫-0.5x²=-1/6x³。
数学解题方法和技巧。
中小学数学,还包括奥数,在学习方面要求方法适宜,有了好的方法和思路,可能会事半功倍!那有哪些方法可以依据呢?希望大家能惯用这些思维和方法来解题!
形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象,并从具体形象展开来的思维过程。
形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般,始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象,对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律,或求出对象。它的思维目标是解决实际问题,并且在解决问题当中提高自身的思维能力。
实物演示法
利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题,及条件与条件,条件与问题之间的关系,在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。
这种方法可以使数学内容形象化,数量关系具体化。比如:数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语,而且为学生指明了思维方向。
二年级数学教材中,“三个小朋友见面握手,每两人握一次,共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数,共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识,在小学教学中,如果实物演示的方法,是很难达到预期的教学目标的。
特别是一些数学概念,如果没有实物演示,小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习,都依赖于实物演示作思维的基础。
图示法
借助直观图形来确定思考方向,寻找思路,求得解决问题的方法。
图示法直观可靠,便于分析数形关系,不受逻辑推导限制,思路灵活开阔,但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上,一旦图示与实际情况不相符,易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区,最后导致错误的结果。
在课堂教学当中,要多用图示的方法来解决问题。有的题目,图画出来了,结果也就出来的;有的题,图画好了,题意学生也就明白了;有的题,画图则可以帮助分析题意、启迪思路,作为其他解法的辅助手段。
列表法
运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。列表法清晰明了,便于分析比较、提示规律,也有利于记忆。
它的局限性在于求解范围小,适用题型狭窄,大多跟寻找规律或显示规律有关。比如,正、反比例的内容,整理数据,乘法口诀,数位顺序等内容的教学大都采用“列表法”。
验证法
你的结果正确吗?不能只等教师的评判,重要的是自己心里要清楚,对自己的学习有一个清楚的评价,这是优秀学生必备的学习品质。
验证法应用范围比较广泛,是需要熟练掌握的一项基本功。应当通过实践训练及其长期体验积累,不断提高自己的验证能力和逐步养成严谨细致的好习惯。
(1)用不同的方法验证。教科书上一再提出:减法用加法检验,加法用减法检验,除法用乘法验算,乘法用除法验算。
(2)代入检验。解方程的结果正确吗?用代入法,看等号两边是否相等。还可以把结果当条件进行逆向推算。
(3)是否符合实际。“千教万教教人求真,千学万学学做真人”陶行知先生的话要落实在教学中。比如,做一套衣服需要4米布,现有布31米,可以做多少套衣服?有学生这样做:31÷4≈8(套)
按照“四舍五入法”保留近似数无疑是正确的,但和实际不符合,做衣服的剩余布料只能舍去。教学中,常识性的东西予以重视。做衣服套数的近似计算要用“去尾法”。
(4)验证的动力在猜想和质疑。牛顿曾说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”“猜”也是解决问题的一种重要策略。可以开拓学生的思维、激发“我要学”的愿望。为了避免瞎猜,一定学会验证。验证猜测结果是否正确,是否符合要求。如不符合要求,及时调整猜想,直到解决问题。
如何利用等价无穷小求极限?
答:用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量,确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。极限思想是微积分的基本思想,是数学分析中的一系列...
在极限的求极限过程中,什么情况下可以使用等价无穷小?
答:求极限时,使用等价无穷小的条件 :1、被代换的量,在取极限的时候极限值为0;2、被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。
求极限时使用等价无穷小的条件
答:当需要求解极限问题时,等价无穷小的条件起着关键作用。首先,所使用的代换量在极限过程中必须趋近于0;其次,它在乘除运算中可以有效替换,但在加减运算中则不可。这种方法巧妙地简化了复杂的极限计算,使得原本棘手的问题变得容易处理。极限的求解手段多种多样,包括:分式中通过分子分母同除最高次项,将...
怎么用等价无穷小代换求极限?
答:因为二者相减把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o(x)是一个未知阶数的无穷小(只知道它比x高阶) 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了 所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换 否则就...
怎样利用等价无穷小求函数的极限?
答:所以:1-cosx的等价无穷小为x²/2 等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化...
怎么利用无穷小的等价替换求极限呢?
答:当x->0时,lim(x→0)ln(x+1)->x,所以就很容易得出答案是1,也就是用到了等价无穷小的概念。0/0未定式求极限可用洛必达法则 当x→0时,lim ln(x+1)/x = lim 1/(x+1) = 1 lim(x→0)ln(x+1)除以x =lim(x→0)ln(x+1)^(1/x)=ln lim(x→0)(x+1)^(1/x)...
如何用等价无穷小求极限?
答:首先 你得搞清楚 等价无穷小的概念。顾名思义,等价无穷小,首先都得是无穷小才行 x→0 cosx→1 所以不能称等价无穷小 而,你的意思可能是说用等价无穷小类似的方法进行变换 给你提供一下,用正确的方法表达你的意思 x→0 1. sinx~x 2. ln(1+x)~x 3. tanx~x 4.arctanx~x 5....
怎样用等价无穷小求极限?
答:具体问题具体分析,分子较之分母是高阶无穷小的极限是零,分母和分子是同阶无穷小的,极限是一个具体的数字,。这关键是要熟练掌握一些常用的等价无穷小比如x趋近于0时的x~sinx啊,e的x次方-1~x啊,诸如此类,还要熟练掌握洛必达法则。在练习应用中进阶吧!
等价无穷小的应用条件是什么?
答:2. g(x) 可以是一个更简单形式的函数,比 f(x) 更容易计算。3. 替换后的函数 g(x) 应该在给定点 a 处定义,避免出现除以零等问题。需要注意的是,等价无穷小替换公式在某些情况下可能会引入误差,因此在使用时需要谨慎考虑。特别是在涉及到极限的精确计算或严格证明时,应该仔细分析问题和选择...
极限等效公式如何应用?
答:极限等效公式是微积分中的一个重要概念,它主要用于求解函数在某一点的极限。等效无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。等效无穷小替换的原理基于无穷小之间的关系,即如果两个无穷小之比的极限为1,则在求极限时可以互相替换。常用的等价无穷小替换公式有:当x...
求极限时,使用等价无穷小的条件 :
被代换的量,在取极限的时候极限值为0;被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。
x -> 0 时,sinx - x ~ -x^3 / 6 。
用函数的泰勒展开式:sinx ~ x - x^3/6 + x^5/120 - ....。
因此当 x -> 0 时,sinx - x ~ -x^3 / 6 。
另一种做法:先对sinx-x求导得到cosx-1。显然等价于-0.5x²。再积分一次得到-1/6x³。过程如下:
[sinx-x]’=cosx-1,cosx-1等价于-0.5x²,∫-0.5x²=-1/6x³。
数学解题方法和技巧。
中小学数学,还包括奥数,在学习方面要求方法适宜,有了好的方法和思路,可能会事半功倍!那有哪些方法可以依据呢?希望大家能惯用这些思维和方法来解题!
形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象,并从具体形象展开来的思维过程。
形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般,始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象,对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律,或求出对象。它的思维目标是解决实际问题,并且在解决问题当中提高自身的思维能力。
实物演示法
利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题,及条件与条件,条件与问题之间的关系,在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。
这种方法可以使数学内容形象化,数量关系具体化。比如:数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语,而且为学生指明了思维方向。
二年级数学教材中,“三个小朋友见面握手,每两人握一次,共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数,共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识,在小学教学中,如果实物演示的方法,是很难达到预期的教学目标的。
特别是一些数学概念,如果没有实物演示,小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习,都依赖于实物演示作思维的基础。
图示法
借助直观图形来确定思考方向,寻找思路,求得解决问题的方法。
图示法直观可靠,便于分析数形关系,不受逻辑推导限制,思路灵活开阔,但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上,一旦图示与实际情况不相符,易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区,最后导致错误的结果。
在课堂教学当中,要多用图示的方法来解决问题。有的题目,图画出来了,结果也就出来的;有的题,图画好了,题意学生也就明白了;有的题,画图则可以帮助分析题意、启迪思路,作为其他解法的辅助手段。
列表法
运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。列表法清晰明了,便于分析比较、提示规律,也有利于记忆。
它的局限性在于求解范围小,适用题型狭窄,大多跟寻找规律或显示规律有关。比如,正、反比例的内容,整理数据,乘法口诀,数位顺序等内容的教学大都采用“列表法”。
验证法
你的结果正确吗?不能只等教师的评判,重要的是自己心里要清楚,对自己的学习有一个清楚的评价,这是优秀学生必备的学习品质。
验证法应用范围比较广泛,是需要熟练掌握的一项基本功。应当通过实践训练及其长期体验积累,不断提高自己的验证能力和逐步养成严谨细致的好习惯。
(1)用不同的方法验证。教科书上一再提出:减法用加法检验,加法用减法检验,除法用乘法验算,乘法用除法验算。
(2)代入检验。解方程的结果正确吗?用代入法,看等号两边是否相等。还可以把结果当条件进行逆向推算。
(3)是否符合实际。“千教万教教人求真,千学万学学做真人”陶行知先生的话要落实在教学中。比如,做一套衣服需要4米布,现有布31米,可以做多少套衣服?有学生这样做:31÷4≈8(套)
按照“四舍五入法”保留近似数无疑是正确的,但和实际不符合,做衣服的剩余布料只能舍去。教学中,常识性的东西予以重视。做衣服套数的近似计算要用“去尾法”。
(4)验证的动力在猜想和质疑。牛顿曾说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”“猜”也是解决问题的一种重要策略。可以开拓学生的思维、激发“我要学”的愿望。为了避免瞎猜,一定学会验证。验证猜测结果是否正确,是否符合要求。如不符合要求,及时调整猜想,直到解决问题。
答:用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量,确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。极限思想是微积分的基本思想,是数学分析中的一系列...
答:求极限时,使用等价无穷小的条件 :1、被代换的量,在取极限的时候极限值为0;2、被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。
答:当需要求解极限问题时,等价无穷小的条件起着关键作用。首先,所使用的代换量在极限过程中必须趋近于0;其次,它在乘除运算中可以有效替换,但在加减运算中则不可。这种方法巧妙地简化了复杂的极限计算,使得原本棘手的问题变得容易处理。极限的求解手段多种多样,包括:分式中通过分子分母同除最高次项,将...
答:因为二者相减把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o(x)是一个未知阶数的无穷小(只知道它比x高阶) 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了 所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换 否则就...
答:所以:1-cosx的等价无穷小为x²/2 等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化...
答:当x->0时,lim(x→0)ln(x+1)->x,所以就很容易得出答案是1,也就是用到了等价无穷小的概念。0/0未定式求极限可用洛必达法则 当x→0时,lim ln(x+1)/x = lim 1/(x+1) = 1 lim(x→0)ln(x+1)除以x =lim(x→0)ln(x+1)^(1/x)=ln lim(x→0)(x+1)^(1/x)...
答:首先 你得搞清楚 等价无穷小的概念。顾名思义,等价无穷小,首先都得是无穷小才行 x→0 cosx→1 所以不能称等价无穷小 而,你的意思可能是说用等价无穷小类似的方法进行变换 给你提供一下,用正确的方法表达你的意思 x→0 1. sinx~x 2. ln(1+x)~x 3. tanx~x 4.arctanx~x 5....
答:具体问题具体分析,分子较之分母是高阶无穷小的极限是零,分母和分子是同阶无穷小的,极限是一个具体的数字,。这关键是要熟练掌握一些常用的等价无穷小比如x趋近于0时的x~sinx啊,e的x次方-1~x啊,诸如此类,还要熟练掌握洛必达法则。在练习应用中进阶吧!
答:2. g(x) 可以是一个更简单形式的函数,比 f(x) 更容易计算。3. 替换后的函数 g(x) 应该在给定点 a 处定义,避免出现除以零等问题。需要注意的是,等价无穷小替换公式在某些情况下可能会引入误差,因此在使用时需要谨慎考虑。特别是在涉及到极限的精确计算或严格证明时,应该仔细分析问题和选择...
答:极限等效公式是微积分中的一个重要概念,它主要用于求解函数在某一点的极限。等效无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。等效无穷小替换的原理基于无穷小之间的关系,即如果两个无穷小之比的极限为1,则在求极限时可以互相替换。常用的等价无穷小替换公式有:当x...