如何用等价无穷小解决极限问题?
kuaidi.ping-jia.net 作者：佚名 更新日期：2024-09-01
微积分中，等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件 ：
被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。
用函数的泰勒展开式：sinx ~ x - x^3/6 + x^5/120 - ....。
因此当 x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。
另一种做法：先对sinx-x求导得到cosx-1。显然等价于-0.5x²。再积分一次得到-1/6x³。过程如下：
[sinx-x]’=cosx-1，cosx-1等价于-0.5x²，∫-0.5x²=-1/6x³。
数学解题方法和技巧。
中小学数学，还包括奥数，在学习方面要求方法适宜，有了好的方法和思路，可能会事半功倍！那有哪些方法可以依据呢？希望大家能惯用这些思维和方法来解题！
形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象，并从具体形象展开来的思维过程。
形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中提高自身的思维能力。
实物演示法
利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。
这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维方向。
二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。
特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。
图示法
借助直观图形来确定思考方向，寻找思路，求得解决问题的方法。
图示法直观可靠，便于分析数形关系，不受逻辑推导限制，思路灵活开阔，但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上，一旦图示与实际情况不相符，易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区，最后导致错误的结果。
在课堂教学当中，要多用图示的方法来解决问题。有的题目，图画出来了，结果也就出来的；有的题，图画好了，题意学生也就明白了；有的题，画图则可以帮助分析题意、启迪思路，作为其他解法的辅助手段。
列表法
运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。列表法清晰明了，便于分析比较、提示规律，也有利于记忆。
它的局限性在于求解范围小，适用题型狭窄，大多跟寻找规律或显示规律有关。比如，正、反比例的内容，整理数据，乘法口诀，数位顺序等内容的教学大都采用“列表法”。
验证法
你的结果正确吗？不能只等教师的评判，重要的是自己心里要清楚，对自己的学习有一个清楚的评价，这是优秀学生必备的学习品质。
验证法应用范围比较广泛，是需要熟练掌握的一项基本功。应当通过实践训练及其长期体验积累，不断提高自己的验证能力和逐步养成严谨细致的好习惯。
（1）用不同的方法验证。教科书上一再提出：减法用加法检验，加法用减法检验，除法用乘法验算，乘法用除法验算。
（2）代入检验。解方程的结果正确吗？用代入法，看等号两边是否相等。还可以把结果当条件进行逆向推算。
（3）是否符合实际。“千教万教教人求真，千学万学学做真人”陶行知先生的话要落实在教学中。比如，做一套衣服需要4米布，现有布31米，可以做多少套衣服？有学生这样做：31÷4≈8（套）
按照“四舍五入法”保留近似数无疑是正确的，但和实际不符合，做衣服的剩余布料只能舍去。教学中，常识性的东西予以重视。做衣服套数的近似计算要用“去尾法”。
（4）验证的动力在猜想和质疑。牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”“猜”也是解决问题的一种重要策略。可以开拓学生的思维、激发“我要学”的愿望。为了避免瞎猜，一定学会验证。验证猜测结果是否正确，是否符合要求。如不符合要求，及时调整猜想，直到解决问题。
如何利用等价无穷小求极限?
答：用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列...
在极限的求极限过程中,什么情况下可以使用等价无穷小?
答：求极限时，使用等价无穷小的条件 ：1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时使用等价无穷小的条件
答：当需要求解极限问题时，等价无穷小的条件起着关键作用。首先，所使用的代换量在极限过程中必须趋近于0；其次，它在乘除运算中可以有效替换，但在加减运算中则不可。这种方法巧妙地简化了复杂的极限计算，使得原本棘手的问题变得容易处理。极限的求解手段多种多样，包括：分式中通过分子分母同除最高次项，将...
怎么用等价无穷小代换求极限?
答：因为二者相减把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶） 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了 所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换 否则就...
怎样利用等价无穷小求函数的极限?
答：所以：1-cosx的等价无穷小为x²/2 等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化...
怎么利用无穷小的等价替换求极限呢?
答：当x->0时，lim(x→0）ln（x+1）->x，所以就很容易得出答案是1，也就是用到了等价无穷小的概念。0/0未定式求极限可用洛必达法则 当x→0时，lim ln(x+1)/x = lim 1/(x+1) = 1 lim(x→0）ln（x+1）除以x =lim(x→0）ln（x+1)^(1/x)=ln lim(x→0)(x+1)^(1/x)...
如何用等价无穷小求极限?
答：首先 你得搞清楚 等价无穷小的概念。顾名思义，等价无穷小，首先都得是无穷小才行 x→0 cosx→1 所以不能称等价无穷小 而，你的意思可能是说用等价无穷小类似的方法进行变换 给你提供一下，用正确的方法表达你的意思 x→0 1. sinx~x 2. ln(1+x)~x 3. tanx~x 4.arctanx~x 5....
怎样用等价无穷小求极限?
答：具体问题具体分析，分子较之分母是高阶无穷小的极限是零，分母和分子是同阶无穷小的，极限是一个具体的数字，。这关键是要熟练掌握一些常用的等价无穷小比如x趋近于0时的x～sinx啊，e的x次方－1～x啊，诸如此类，还要熟练掌握洛必达法则。在练习应用中进阶吧！
等价无穷小的应用条件是什么?
答：2. g(x) 可以是一个更简单形式的函数，比 f(x) 更容易计算。3. 替换后的函数 g(x) 应该在给定点 a 处定义，避免出现除以零等问题。需要注意的是，等价无穷小替换公式在某些情况下可能会引入误差，因此在使用时需要谨慎考虑。特别是在涉及到极限的精确计算或严格证明时，应该仔细分析问题和选择...
极限等效公式如何应用?
答：极限等效公式是微积分中的一个重要概念，它主要用于求解函数在某一点的极限。等效无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。等效无穷小替换的原理基于无穷小之间的关系，即如果两个无穷小之比的极限为1，则在求极限时可以互相替换。常用的等价无穷小替换公式有：当x...
求极限时，使用等价无穷小的条件 ：
被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。
用函数的泰勒展开式：sinx ~ x - x^3/6 + x^5/120 - ....。
因此当 x -> 0 时，sinx - x ~ -x^3 / 6 。
另一种做法：先对sinx-x求导得到cosx-1。显然等价于-0.5x²。再积分一次得到-1/6x³。过程如下：
[sinx-x]’=cosx-1，cosx-1等价于-0.5x²，∫-0.5x²=-1/6x³。
数学解题方法和技巧。
中小学数学，还包括奥数，在学习方面要求方法适宜，有了好的方法和思路，可能会事半功倍！那有哪些方法可以依据呢？希望大家能惯用这些思维和方法来解题！
形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象，并从具体形象展开来的思维过程。
形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中提高自身的思维能力。
实物演示法
利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。
这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维方向。
二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。
特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。
图示法
借助直观图形来确定思考方向，寻找思路，求得解决问题的方法。
图示法直观可靠，便于分析数形关系，不受逻辑推导限制，思路灵活开阔，但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上，一旦图示与实际情况不相符，易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区，最后导致错误的结果。
在课堂教学当中，要多用图示的方法来解决问题。有的题目，图画出来了，结果也就出来的；有的题，图画好了，题意学生也就明白了；有的题，画图则可以帮助分析题意、启迪思路，作为其他解法的辅助手段。
列表法
运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。列表法清晰明了，便于分析比较、提示规律，也有利于记忆。
它的局限性在于求解范围小，适用题型狭窄，大多跟寻找规律或显示规律有关。比如，正、反比例的内容，整理数据，乘法口诀，数位顺序等内容的教学大都采用“列表法”。
验证法
你的结果正确吗？不能只等教师的评判，重要的是自己心里要清楚，对自己的学习有一个清楚的评价，这是优秀学生必备的学习品质。
验证法应用范围比较广泛，是需要熟练掌握的一项基本功。应当通过实践训练及其长期体验积累，不断提高自己的验证能力和逐步养成严谨细致的好习惯。
（1）用不同的方法验证。教科书上一再提出：减法用加法检验，加法用减法检验，除法用乘法验算，乘法用除法验算。
（2）代入检验。解方程的结果正确吗？用代入法，看等号两边是否相等。还可以把结果当条件进行逆向推算。
（3）是否符合实际。“千教万教教人求真，千学万学学做真人”陶行知先生的话要落实在教学中。比如，做一套衣服需要4米布，现有布31米，可以做多少套衣服？有学生这样做：31÷4≈8（套）
按照“四舍五入法”保留近似数无疑是正确的，但和实际不符合，做衣服的剩余布料只能舍去。教学中，常识性的东西予以重视。做衣服套数的近似计算要用“去尾法”。
（4）验证的动力在猜想和质疑。牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”“猜”也是解决问题的一种重要策略。可以开拓学生的思维、激发“我要学”的愿望。为了避免瞎猜，一定学会验证。验证猜测结果是否正确，是否符合要求。如不符合要求，及时调整猜想，直到解决问题。
答：用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列...
答：求极限时，使用等价无穷小的条件 ：1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
答：当需要求解极限问题时，等价无穷小的条件起着关键作用。首先，所使用的代换量在极限过程中必须趋近于0；其次，它在乘除运算中可以有效替换，但在加减运算中则不可。这种方法巧妙地简化了复杂的极限计算，使得原本棘手的问题变得容易处理。极限的求解手段多种多样，包括：分式中通过分子分母同除最高次项，将...
答：因为二者相减把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶） 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了 所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换 否则就...
答：所以：1-cosx的等价无穷小为x²/2 等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化...
答：当x->0时，lim(x→0）ln（x+1）->x，所以就很容易得出答案是1，也就是用到了等价无穷小的概念。0/0未定式求极限可用洛必达法则 当x→0时，lim ln(x+1)/x = lim 1/(x+1) = 1 lim(x→0）ln（x+1）除以x =lim(x→0）ln（x+1)^(1/x)=ln lim(x→0)(x+1)^(1/x)...
答：首先 你得搞清楚 等价无穷小的概念。顾名思义，等价无穷小，首先都得是无穷小才行 x→0 cosx→1 所以不能称等价无穷小 而，你的意思可能是说用等价无穷小类似的方法进行变换 给你提供一下，用正确的方法表达你的意思 x→0 1. sinx~x 2. ln(1+x)~x 3. tanx~x 4.arctanx~x 5....
答：具体问题具体分析，分子较之分母是高阶无穷小的极限是零，分母和分子是同阶无穷小的，极限是一个具体的数字，。这关键是要熟练掌握一些常用的等价无穷小比如x趋近于0时的x～sinx啊，e的x次方－1～x啊，诸如此类，还要熟练掌握洛必达法则。在练习应用中进阶吧！
答：2. g(x) 可以是一个更简单形式的函数，比 f(x) 更容易计算。3. 替换后的函数 g(x) 应该在给定点 a 处定义，避免出现除以零等问题。需要注意的是，等价无穷小替换公式在某些情况下可能会引入误差，因此在使用时需要谨慎考虑。特别是在涉及到极限的精确计算或严格证明时，应该仔细分析问题和选择...
答：极限等效公式是微积分中的一个重要概念，它主要用于求解函数在某一点的极限。等效无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。等效无穷小替换的原理基于无穷小之间的关系，即如果两个无穷小之比的极限为1，则在求极限时可以互相替换。常用的等价无穷小替换公式有：当x...
