1^2+2^2+……+n^2公式的证明过程

怎么证明1^2+2^2+3^2+……+n^2的求和公式

证明：
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
n^3-1^3
=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料立方差公式：

证明方法：
遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理，所以很容易想到a2，同时由于对a3降阶的同时还要和b3进行结合，所以很容易想到a2b这样一个加法项，因此对上式采取分别加和减一个a2b项，得到下式，同时进行相应的合并。
n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数，后面括号中各项式的幂之和都为n-1，an表示a的n次方。(n大于0且n不等于2)
解题时常用它的变形：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)
相应的，立方差公式也有变形：a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

用数学归纳法是一个不错的选择，但必须首先知道公式
实际上可以使用高次裂项求和
(k+1)³=k³+3k²+3k+1
3k²=(k+1)³-k³ - (3k+1)
3*1²=(2³-1³)- 4
3*2²=(3³-2³)-7
3*3²=(4³-3³)-10
.........
3*n²=[(n+1)³-n³]-(3n+1)
相加
3*（1²+2²+3²+.........+n²）
=[(n+1)³-1³]-(4+7+10+......+3n+1)
=n(n+1)(2n+1)/2。
1²+2²+3²+.........+n²=n(n+1)(2n+1)/6

2^3-1^3=(2-1)(2^2+2+1),3^3-2^3=19……,n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,再迭加，就能证明了，等式左边n^3-1,右边整理一下3(2^2+……n^2)-3(1+……n)+n-1,整理你自己来吧，补充一点，这个方法原理上能证明二次平方和，三次平方和，甚至更高次

1^2+2^2+3^2+...+n^2的推导过程
答：1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...n^3-...

1^2 +2^2+ ……+n^2想要解这道题的公式
答：利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*...

1^2+2^2+……+n^2
答：简单计算一下即可，详情如图所示

1的平方 2的平方 3的平方 4的平方 … n的平方等于多少啊
答：n+1)=n^3+3n^2+3n+1－3n^2/2－3n/2－n－1 =n^3+3/2n^2+n/2 所以, 1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/3(n^3+3n^2/2+n/2)=n(n+1)(2n+1)/6 这个公式的用途很大,除了用于计算连续自然数的平方和外,在初高中的代数恒等变形中有着很大的作用. 如果是的话希望不吝采纳！

1^2+2^2+3^2+……+n^2等于啥?要过程 谢谢谢谢谢谢!
答：利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ... n^3-(n-1)^3=2...

1^2+2^2+……+n^2
答：利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*...

1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2 怎么算
答：1^2+2^2+3^2+4^2+5^2………+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n...

1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2的公式
答：1^2+2^2+···n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1);1^2+2^2+···(2n)^2=1/6*2n*(2n+1)*(4n+1);2^2+4^2+6^2+···+(2n)^2=4*(1^2+2^2+···+n^2)=4*1/6*n*(n+1)*(2n+1);1^2+3^2+···+(2n-1)^2=1/6*2n*(2n+1)*(4n+1)-4*1/6*n*...

1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少
答：平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6 证法一（归纳猜想法）：1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 3、设...

1^2+2^2+……+n^2=
答：方法一：直接套公式 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 方法二：1²+2²+...+n²=1×(2-1)+2×(3-1)+...+n×[(n+1)-1]=[1×2+2×3+...+n×(n+1)]-(1+2+...+n)=⅓×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+.....