大学数学极限题?
对于5)7)这种题,直接分子分母同时除以最高次方,比如第7)最高次方为平方项,分子分母同时除以x2,故有lim(1+3/x2)/(3-2/x),当x无穷时,1/x2和1/x都趋于0,所以这个极限=1/3;第10)lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(1+x+x2-3)/((1-x)(1+x+x2)) =lim(x-1)(x+2)/((1-x)(1+x+x2))=-lim(x+2)/(1+x+x2)=-3/3=-1 第14)看不太清,直接分子分母除以x的最高次幂就可以了。 15)16)这种题需要分母有理化或分子有理化,例如15)分子分母同时乘以√(x2+x-2)+√(x2-2x-2),则原极限=lim[√(x2+x-2)+√(x2-2x-2)]/[3x],然后分子分母同时除以x就可以求得极限为2/3
可以化极坐标做:
x = r cos t
y = r sint
x^2+y^2 = r^2
原极限 = lim{x->0, y->0} xy cos x/r = lim{x->0, y->0} r sin x cosx = 0
微积分课上都会讲极限的概念,我们知道它与逼近有关,但在证明中你会怎么利用它呢?
你可能对极限有很好的直观理解。f(x)的极限是指当x接近a时,f(x)接近的值。在更一般的意义上,当输入接近一个值时,函数也接近一个极限值。
虽然这种直觉很好,但在证明中是不适用的。我们需要一个精确的定义来说明接近某物的含义。经过几个世纪的思考,魏尔斯特拉斯(Weierstrass )想出了这样一个定义:极限的epsilon-delta定义。
定义
如果我们要将这个定义形式化,有很多情况,但现在只关注两种情况(稍后会推广它们):有限极限和无限极限。对于有限的双边极限,有:
D是f(x)的定义域。对于无限极限,有:
对于负无穷大的极限,用x<-N代替x>N。
定义中的符号
逻辑等价性
这意味着P和Q在逻辑上是等同的。也就是说,P和Q同时为真或同时为假。如果想证明P,那么你可以证明Q,反之亦然。在极限定义中,这意味着,如果:
等同于:
全称量词
上面表达式的意思是,S的每个元素(表示为k)都将满足后面的条件。你可以把它看作是对那些不相信你接下来要说的话的人的一种挑战。"你不相信我?挑选S中的任何元素,称其为k,k将满足这个右边的一切条件。"
定义中全称量词的两个实例是:
第一个表达式意味着你可以选择任何你想要的正数。第二个表达式意味着你可以在f(x)的定义域中选择任何元素。
存在量词
这个表达式的意思是,在S中至少有一个元素k,使得后面的一切都为真。我们经常需要证明这样一个k的存在,包括在证明极限时。
定义中存在量词的唯一实例是:
当它与前面的陈述结合时,意味着你至少可以说出一个正数,这样无论你为ϵ选择什么样的正值,其余的陈述都是真的。
意味着
这个表达式意味着,如果P是真的,那么Q就是真的。典型的例子是 "如果你在雨中行走,那么你会被淋湿",这句话看起来像:
请注意,如果这句话是真的,那么就有三种可能性:
你在雨中行走,你会被淋湿。
你不在雨中行走,你就不会被淋湿。
你没有在雨中行走,但你被淋湿了(例如,你掉进了游泳池或被洒水器喷到)。
选择一个任意的ϵ>0的值。在这种情况下,这意味着我们把ϵ当作一个变量。
对x求解不等式| f(x) - L| < ϵ。
你应该得到类似m(ϵ, a) < x < n(ϵ, a)的结果,其中m(ϵ, a)和n(ϵ, a)是包含ϵ和a的表达式。
是两个值中较小的一个| m(ϵ, a) - a |和| n(ϵ, a) - a |。
选一个任意的ϵ>0的值。在这种情况下,这意味着我们把ϵ当作一个变量。
求解N的不等式| f(x) - L| < ϵ。
你应该得到类似N>g(ϵ, x)的结果,其中g(ϵ, x)是一个包含ϵ和x的表达式。
有限的极限
左极限
极限
右
正无穷大时的极限
负无穷大时的极限
级数的极限
高维的极限
这句话唯一可能是假的,那就是你能在雨中行走,但你没有被淋湿。举个例子很重要,因为有些人把“意味着”和逻辑上的等同性混为一谈。两者之间最大的区别是,在“意味着”情况下,P可以是假的,Q可以是真的,但逻辑上的等价关系却不能。
定义中唯一的“意味着”:
表示如果x在a的距离内(但不等于a),那么f(x)在L的距离ϵ内。
归纳起来
说:
等于说对于任何一个正值的 ϵ:
我们可以找到至少一个正值的:
这样,对于定义域D内的任何值x:
(0 < x - a | < )意味着(| f(x) - L | < ϵ)。
如何证明极限
很多老师或教科书都会止步于此,不告诉你如何把这个定义用于任何情况。我们可以把这个定义提炼成一套一般的步骤,可以按照这些步骤来证明极限。
有限极限
无限极限
一个简单的例子
首先,我们把ϵ当作一个任意的变量,然后解以下关于x的不等式:
m(ϵ, 5) = 5 - ϵ / 2,n(ϵ, 5) = 5 + ϵ / 2。请注意,如果我们想从分子和分母中取消(x - 5),x不能等于5。幸运的是,对于极限来说,x永远不需要。现在,我们计算上面的两个值,需要确定一个的值。
这两个值是相等的,所以我们可以选择 = ϵ / 2,这就完成了。当然,如果愿意,我们可以选择更小的,例如,ϵ / 3或ϵ / π。
极限的一般定义
有几种类型的极限:
每个都有一个定义,但定义本身是非常相似的。所有这些都有一些一般的想法。问题在于,每一个极限都在接近极值的方式上有所不同,它们需要不同的定义。
答:答案C 方法如下,请作参考:
答:对于5)7)这种题,直接分子分母同时除以最高次方,比如第7)最高次方为平方项,分子分母同时除以x2,故有lim(1+3/x2)/(3-2/x),当x无穷时,1/x2和1/x都趋于0,所以这个极限=1/3;第10)lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(1+x+x2-3)/((1-x)(1+x+x2)) =lim(x-1)(x+2...
答:(1/x)ln(1+(a+x))=ln(1+(a+x))^x 此时利用极限(1+(1/x))^x的极限为e,可得结果 5、化简㏑√(1+5x)=(1/2)ln(1+5x)利用等价无穷小ln(1+x)与1-x在x趋于0时是等价无穷小 即题中ln(1+5x)与1-5x是等价无穷小,可得答案 ...
答:对于5)7)这种题,直接分子分母同时除以最高次方,比如第7)最高次方为平方项,分子分母同时除以x2,故有lim(1+3/x2)/(3-2/x),当x无穷时,1/x2和1/x都趋于0,所以这个极限=1/3;第10)lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(1+x+x2-3)/((1-x)(1+x+x2)) =lim(x-1)(x+2...
答:洛必达法则 =lim[x→+∞] [a^xlna/(a^x-1)-1/x]=lim[x→+∞] [(a^x-1+1)lna/(a^x-1)-1/x]=lim[x→+∞] [lna+lna/(a^x-1)-1/x]当a>1时,上式极限为lna 当0<a<1时,上式极限为0 因此:当a>1时,极限为e^(lna)=a 当0<a<1时,极限为e^0=1 【数学之美...
答:=lim 2x/[(x²+x+1)^(1/2)+(x²-x+1)^(1/2)]=1 (分子分母再除以x即可得结果)4. 分子分母同乘以[(2x+1)^(1/2)+3][(x-2)^(1/2)+√2],则原式=2lim [(x-2)^(1/2)+√2]/[(2x+1)^(1/2)+3]=2√2/3 5. 与第四题的思路一样 6. 通分可得原...
答:=lim(x-1)(x+2)/((1-x)(1+x+x²))=-lim(x+2)/(1+x+x²)=-3/3=-1 第14)看不太清,直接分子分母除以x的最高次幂就可以了。15)16)这种题需要分母有理化或分子有理化,例如15)分子分母同时乘以√(x²+x-2)+√(x²-2x-2),则原极限=lim[√(x...
答:解:(1)原式等于 lim[1-2/(x+1)]^{[-(x+1)/2]*[-2x/(x+1)]} =lim{[1-2/(x+1)]^{[-(x+1)/2]}^[-2x/(x+1)]=e^lim[-2x/(x+1)]=e^{-2lim[x/(x+1)]} =(1/e^2)^lim[1-1/(x+1)]=1/e^2 (2)原式等于 lim[1/(x-1)-2/(x^2-1)]=lim[(x...
答:4+2a-20=0,2a=16,a=8。分子分母同时趋于零。这是规定。先写别问。。。
答:如下两图: